盐城市南京市2020届高三年级数学第一次模拟考试解析版

1南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学2020.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题纸内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：柱体体积公式：VSh=，椎体体积公式13VSh=，其中S为底面积，h为高.样本数据123,,,,nxxxx的方差()2211niisxxn==−，其中11niixxn==.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合()0,A=+，全集UR=，则UA=___________.【答案】(,0−【解析】集合的补集【点评】考查集合的补集运算，该题属于基础题型。2.设复数2zi=+，其中i为虚数单位，则zz=___________.【答案】5【解析】2zi=+，2zi=−，()()2224-5zziii=+−==，【点评】考查共轭复数的概念和复数的四则运算，属于基础题型。3.学校准备从甲、乙、丙三位同学中随机选两位同学参加问卷调查，则甲被选中的概率为___________.【答案】23【解析】列举法：甲乙、甲丙、乙丙，甲被选中的概率为23【点评】考察古典概型，属于基础题。24.命题“,cossin1R+”的否定是___________命题.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】其否定为“R，cossin1+”，为真命题【点评】考察命题的否定，属于基础题型。5.运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为___________.【答案】6【解析】0,0SI==，0,1SI==，1,2SI==，3,3SI==，6,4SI==，10,5SI==，15,6SI==输出6i=【点评】考查流程图知识点，属于基础题型。6.已知样本7,8,9,,xy的平均数是9，且110xy=，则此样本的方差是___________.【答案】2【解析】由78995110xyxy++++==，解得10,11xy==或11,10xy==，则方差222222(79)(89)(99)(109)(119)25S−+−+−+−+−==【点评】考查平均数及方差的计算，属于基础题型。7.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线24yx=上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为___________.【答案】23【解析】设点P为00(,)xy，根据抛物线的性质得0232x+=，即(2,22)P，得222(22)23OP=+=【点评】考查抛物线的性质，属于基础题型。8.若数列na是公差不为0的等差数列，125ln,ln,lnaaa成等差数列，则21aa的值为___________.【答案】3【解析】由1lna，2lna，5lna成等差数列，00101PrintSIWhileSSSIIIEndWhileI++3得222215215215111112lnlnlnlnln()(4)2aaaaaaaaaadaadad=+==+=+=，因此2111132231122dddaadaadd++====【点评】考查数列的基本量计算，属于基础题型。9.在三棱柱111ABCABC−中，点P是棱1CC上一点，记三棱柱111ABCABC−与四棱锥11PABBA−的体积分别为1V与2V，则21VV=___________.【答案】32【解析】设ABCSaAB△,=的高为h，三棱柱的高为b，则abhVahbV31,2121==，所以3212=VV【点评】考察三棱柱以及棱锥的体积，需要换底。10.设函数()sin()(0,0)2fxx=+的图像与y轴交点的纵坐标为32，y轴右侧第一个最低点的横坐标为6，则的值为___________.【答案】7【解析】函数过23,0，()3,2,0,23sin,230===f由kxkxx265,223,13sin+−=+−=+−=+令7,667,1====xk【点评】考察正弦定理的最值问题，可以回归基本法11.已知H是ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AHABAC=+，则cosBAC的值为___________.【答案】33【解析】设AB上的高为CE，ACABACABAH2121212141+=+=，令ADAB=21，D为中点4ACADAH2121+=，由三点共线定理可得，CDH,,三点共线，所以ED,为同一点。()22212122121ACADACADADACACADBCAH+−−=−+=而2ADACAD=，所以33cos,3,322====ACADBACACADACAD【点评】考察垂心以及三点共线定理，求解数量积的时候需要用到垂影。12.若无穷数列cos()()nR是等差数列，则其前10项的和为___________.【答案】10【解析】()cosn为周期函数，又为等差数列，所以只能为常数列，即2k=，()10cos1,10nS==【点评】偏难，需要了解等差数列的特点以及与余弦函数之间的关系，比较灵活。13.已知集合(,)16Pxyxxyy=+=，集合12(,)Qxykxbykxb=++，若PQ，则1221bbk−+的最小值为___________.【答案】4【解析】根据题意，画出集合P表示的图像，第一象限为圆，第二象限为双曲线，第三象限无图像，第四象限为双曲线，集合Q表示的图像为两直线间的所有点，所求式表示两直线间的距离，则此距离的最小值为四分之一圆的切线与与双曲线渐近线之间的距离，正好为四分之一圆的半径4第一象限：2216xy+=切线方程：42yx=−+第二象限：2216xy−+=渐近线方程：yx=−第四象限：2216xy−=渐近线方程：yx=−【点评】本题主要考察数形结合的思想，综合了圆锥曲线方程，圆的方程，线性规划与直线间距离的知识，总体计算量较小，难度适中。514.若对任意实数(,1x−，都有2121xexax−+成立，则实数a的值为___________.【答案】12−【解析】令()221xefxxax=−+，则()()()()2221121xexaxfxxax−+−=−+1当0a=时，()112ef=，不合题意；2当0a时，()fx在(,1−上单调递增，又()01f=∴()()101ff=，不合题意3当0a时，()fx在(),21a−+上单调递增，在()21,1a+上单调递减又()1022efa=−∴()2121022aefaa++=+∴1a−由题意需有()2121122aefaa++=+，令()211,1ta=+−，则10tet−−令()1ttet=−−，则()1tte=−∴()t在()1,0−上单调递减，在()0,1上单调递增∴()t在0t=处取得极小值也是最小值()00=∴()0t，故当且仅当0t=，即12a=−时满足题意综上所述，实数a的值为12−【点评】本题考查函数恒成立问题，考查数形结合思想，难度较大。二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题卡相应位置上．15.（本小题满分14分）已知ABC满足sin2cos6BB+=，（1）若6cos3C=，3AC=，求AB6（2）若0,3A，()4cos5BA−=，求sinA.【解析】（1）∵sin2cos6BB+=，31sincos2cos22BBB+=，33sincos022BB−=，133sincos022BB−=，3sin03B−=，∵()0,B，2,333B−−，∴03B−=，3B=，∵6cos3C=，()0,C，∴sin0C，∴23sin1cos3CC=−=，由正弦定理sinsinbcBC=，3sin332sin32CcbB===（2）由（1）得3B=，0,3A，∴03AB−−，()sin0AB−，∵()()4coscos5BAAB−=−=，∴()()23sin1cos5ABAB−=−−−=−,∴()sinsinAABB=−+()()3143433sincoscossin525210ABBABB−=−+−=−+=【点评】本题主要考察了正弦定理在三角形中的应用和三角函数角的变换，属于中等难度.16.（本小题满分14分）如图，长方体1111ABCDABCD−，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱1CC上的一点.（1）若1//AC平面PBD，求1PCPC的值；（2）求证：1BDAP⊥.【解析】（1）连结AC交BD于点O，连结OP，∵1//AC平面PBD.1AC平面1ACC面1ACC面PBDPO=∴1//ACPO在1ACC中，1//ACPO，∵O是正方形ABCD对角线的交点，7∴AOCO=，∴1CPCP=，∴11PCPC=（2）由（1），正方形ABCD中，BDAC⊥，在长方体1111ABCDABCD−中，∵1AA⊥平面ABCD，BD平面ABCD∴1AABD⊥，∵BDAC⊥，1AABD⊥AC平面11AACC1AA平面11AACC1AAACA=∴BD⊥平面11AACC∵1AP平面11AACC∴1BDAP⊥【点评】本题主要考查立体几何中直线与平面平行，直线与平面垂直的知识点．第一问直接利用线面平行的性质定理证明即可，第二问关键在于通过证明线面垂直来证明两直线垂直，需要用到直线于平面垂直的性质，整体难度中等．17.（本小题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶，具体做法是从O中裁剪出两块全等的圆形铁皮P与Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点AB、在O上。点PQ、在O的一条直径上，//ABPQ，P、Q分别与直线BCAD、相切，都与O内切。（1）求圆形铁皮P半径的取值范围；8（2）请确定圆形铁皮P与Q半径的值，使得油桶的体积最大.（不取近似值）【解析】（1）由题意，当CD落在圆上时，AD=2pr,AB=8-4r,(8-4r2)2+(pr)2=16,r=164+p221604r+（2）222max2()(84),'()1612160,'()0416()()4Vfrrrfrrrrfrfxf==−=−+=+【点评】本题主要考察函数定义域的求解，圆柱体积的求解和导数极值的简单运用。18.（本小题满分16分）设椭圆C：22221(0)xyabab+=的左右焦点分别为12,FF，离心率是e，动点00(,)Pxy在椭圆C上运动，当2PFx⊥轴时，001,xye==.（1）求椭圆C的方程；（2）延长12,PFPF分别交椭圆C于点,AB（,AB不重合）.设1122,AFFPBFFP==，求+的最小值.【解析】（1）由题意可知cea=，2PFx⊥轴，因为01xc==,将0(,)cy代入椭圆方程得2(,)bPca，则2bcaa=,则22221,2babc==+=椭圆方程2212xy+=（2）设点00(,)Pxy,11(,)Axy,22(,)Bxy,已知点12(1,0),(1,0)FF−由已知11AFFP=则有10101xxyy=−−−=−代入2200[(1)]()12xy+++=得到01322x=−同理得到22BFFP=,则2200(1,)(1,)xyxy−−=−,9则20201xxyy=+−=−,则03122x=−则有116+=,则有1112()()63++当且仅当时“13==”时取等号【点评】向量与椭圆结合，运用相