2012年杭州市中考数学试卷及答案

第1页(共7页)2012年杭州市各类高中招生文化考试数学试卷难度正好考生须知:1.本试卷满分120分,考试时间100分钟.2.答题前,在答题纸上写姓名和准考证号.3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效.答题方式详见答题纸上的说明.4.考试结束后,试题卷和答题纸一并上交.参考公式：直棱柱的体积公式：V=Sh（V表示体积，S表示底面积，h表示高）.试题卷一、仔细选一选(本题有10个小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1.计算(2－3)+（－1）的结果是()A.－2B.0C.1D.22.若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是()A.内含B.内切C.外切D.外离3.一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同.若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是()A.摸到红球是必然事件B.摸到白球是不可能事件C.摸到红球与摸到白球的可能性相等D.摸到红球比摸到白球的可能性大4.已知□ABCD中，B＝4A，则∠C=()A.18B.36C.72D.1445．下列计算正确的是（）A.(–p2q)3=–p5q3B.(12a2b3c)÷(6ab2)=2abC.3m2÷(3m–1)=m–3m2D.(x2–4x)x–1=x–46．如图是杭州市区人口的统计图.则根据统计图得出的下列判断中，正确的是（）A其中有3个区的人口数都低于40万B．只有1个区的人口数超过百万C．上城区与下城区的人口数之和超过江干区的人口数D．杭州市区的人口总数已超过600万7.已知m=(–33)(–221)，则有（）A.5m6B.4m5C.–5m–4D.–6m–58.如图，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）杭州市区人口统计图数据来源：2011年杭州统计年鉴（第6题）第2页(共7页)A.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°C.点A到OC的距离为sin36°sin54°D.点A到OC的距离为cos36°sin54°9.已知抛物线y=k(x+1)(x–3k)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是()A．2B．3C．4D．510．已知关于x，y的方程组34,3,xyaxya其中–3a1.给出下列结论:①5,1xy是方程组的解；②当a＝–2时，x，y的值互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4–a的解；④若x1,则1y4.其中正确的是（）A.①②B.②③C.②③④D.①③④二.认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.11.数据１，1，１，３，４的平均数是；众数是.12.化简216312mm得；当m=－1时，原式的值为.13.某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行1065.6多万元，则年利率高于%.14.已知a(3)a0,若2ba，则b的取值范围是.15.已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为cm.16.如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数.若在此平面内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横纵坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为.三.全面答一答(本题有7个小题,共66分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.0.6617．(本小题满分6分)(第8题)第3页(共7页)化简:2[(m–1)m+m(m+1)][(m–1)m–m(m+1)].若m是任意整数，请观察化简后的结果．．，你发现原式表示一个什么数?0.7518.(本小题满分8分)当k分别取–1，1，2时，函数y=2(1)45kxxk都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值.0.7719.(本小题满分8分)如图是数轴的一部分，其单位长度为a.已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．(1)用直尺和圆规作出△ABC（要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；(2)记△ABC外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明SS圆π.0.8020.(本小题满分10分)有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.(1)请写出其中一个三角形的第三条边的长；(2)设组中最多有n个三角形，求n的值；(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．0.8021.(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连结AF，DE．(1)求证：AF=DE；(2)若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．0.5822.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y=k(x2+x–1)的图象交于点A(1,k)和点B(–1,－k)．(1)当k＝–2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．0.5823.(本小题满分12分)（第16题）（第19题）(第21题)第4页(共7页)如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=33，MN=222．(1)求∠COB的度数；(2)求⊙O的半径R；(3)点F在⊙O上（FME是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点也在⊙O上的三角形吗?请在图中画出．．这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．2012年杭州市各类高中招生文化考试数学参考答案及评分标准一、仔细选一选(本题有10个小题,每小题3分,共30分)题号12345678910答案ABDBDDACCC二.认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)11．2；112．43m；113．6.5614．2–3b215．15；1或916．(–2，–3)，(–2，–2)，(–1，1)，(0，2)三.全面答一答(本题有7个小题,共66分)17．(本小题满分6分)原式=2m2[(m–1)+(m+1)][(m–1)–(m+1)]=2m2(2m)(–2)=–8m3．4分发现:原式=(–2m)3,即不论m取什么整数，原式表示一个偶数的立方．2分（若发现的是:原式表示一个整数的立方给2分；原式表示一个偶数、原式表示一个整数等均给1分；原式表示一个负的数不给分）18.(本小题满分8分)判断:只有当k=–1时，函数有最大值.1分说明理由如下：当k=–1时，二次函数为y=2246xx＝22(1)8x，此时，ymax=8.3分当k=1时，函数y=44x为一次函数，所以，函数不存在最大值.2分当k=2时，二次函数为y=243xx，（第23题）第5页(共7页)因为二次函数的图象的开口向上，所以不存在最大值.2分19.(本小题满分8分)(1)所作△ABC如图.3分(2)∵AB2+BC2=AC2,∴∠B＝90，∴AC是外接圆的直径.2分∴S△=213a·4a=6a2，S圆=2)25(a=4252a，2分∴SS圆=24252424=π.1分20.(本小题满分10分)(1)(开放题)，如x=3(必须是下面(*)中的某一个)2分(2)设第三边长为x,则有.57,75xx解得2x12,2分因为x是正整数，所以得x=3，4，5，6，7，8，9，10，11.(*)n=11–2=9．3分(3)当周长为偶数时，第三条边可取的值有4个，分别为4，6，8，10，所求的概率为94．3分21.(本小题满分10分)(1)证明:∵等腰梯形ABCD，∴∠BAD=∠CDA.1分又∵等边三角形ABE和等边三角形DCF，∴∠EAB=∠FDC，∴∠EAD=∠FDA.1分又∵AE=AB＝DC=DF，AD是公共边，1分∴△EAD≌△FDA，∴AF=DE.1分(2)作BH⊥AD于H.∵∠BAD=45°，AB=a，∴BH=22a，2分∴AH=22a，由条件得2324a=22BCaBC22a,2分解得BC622a.2分（第19题）(第21题)第6页(共7页)说明:结论中,分母没有有理化不扣分.22.(本小题满分12分)（1）因为k＝–2，所以A(1，–2)，设反比例函数为y=`kx，因为点A在函数的图象上，所以–2=`1k,解得k`=–2，反比例函数解析式为2yx.3分(2)由y=k(x2+x–1)=k(x+21)2–45k，得抛物线对称轴为直线x=–21,1分当k0时，反比例函数不存在y随着x的增大而增大的取值范围，所以k0，2分此时，当x0或x0时，反比例函数值y随着x的增大而增大，当x≤–21时，二次函数值y随着x的增大而增大，2分所以自变量x的取值范围是x≤–21.(3)由题（2）得点Q的坐标为(12，54k)，1分因为AQ⊥BQ,点O是AB的中点，所以OQ=12AB=OA,1分得2221251416kk,解得233k.2分说明：题（2）写自变量x的取值范围是x–21不扣分.23.(本小题满分12分)(1)∵AE切圆O于点E，∴OE⊥AE,∵OB⊥AT于点B，∴∠AEC=∠OBC＝90,又∵∠ACE=∠OCB，∴△ACE∽△OCB，∴∠COB=∠EAT＝30．3分(2)在Rt△AEC中，CE=AEtan30=3，1分∠OCB=∠ACE=60°，设BC=x,则3OBx，2OCx，（第23题）第7页(共7页)连结ON，得222(3)(22)(23)xx，解得1x或13x(舍)，∴1x，2分∴235Rx.1分(3)这样的三角形共有3个.1分画直径FG，连结GE.∵∠AEF=30，∴∠FEO=60，又∵EF=OE=OF=5，∴∠EFG=60=∠BCO，∴△GEF即为所要画出的三角形.2分∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似,∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比．1分又∵两个直角三角形斜边长FG=2R=10，OC=2，∴△GEF与△OBC的周长之比为5：1．1分(第23题)