2012年高考试题理科数学(全国卷)含答案及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题（1）、复数131ii=A.2B.2C.12D.12iiii　　　　　　【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2iiiiiiii.【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。（2）、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},AB＝A,则m=A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3ABABAAmBmmAmmmmmm或舍去Q.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为A.216x+212y=1B.212x+28y=1C.28x+24y=1D.212x+24y=1【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x=﹣4,∴2a=4c且焦点在x轴上，∵2c4∴c2，a22∴椭圆的方程为22=184xy【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。（4）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A.2B.3C.2D.1【考点】立体几何【难度】容易【答案】C【解析】因为底面的边长为2，高为22且连接AC,BD,得到了交点为O,连接EO,EO∥AC,则点1C到平面BDE的距离等于C到平面BDE的距离，过C作CH⊥OE,则：CH即为所求在三角形OCE中，利用等面积法，可得CH=2.【点评】本题考查立体几何中直线与平面间距离问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解，其中第11讲中的例4与此题几乎一致。（5）已知等差数列{}na的前n项和为nS，555,15aS，则数列11}nnaa{的前100项和为A.100101B.99101C.99100D.101100【考点】数列【难度】中等【答案】A【解析】因为已知等差数列{na}中，5a=5，515()5152aaS∴1a=1∴d=111111=(1)(1)nnnanaannnn∴∴100111111100=(1-)(-)...()1223100101101101S∴.【点评】本题考查数列的前n项和求解方法。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《数列》有详细讲解，其中第04讲中，例6属于完全相同类型的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。（6）△ABC中，AB边的高为CD，若=,=,.0,CBaCAbabuurruurrrr　1,2abrr　则ADuuur=11223344A.B.C.D.33335555ababababrrrrrrrr　　　　　　【考点】向量【难度】容易【答案】D【解析】因为ab=0∴∠ACB=90°∴AB=5,CD=255∴BD=55,AD=455∴AD:BD=4:1144444555555CDCACBADCDCACACBba∴【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第六章《平面向量》有详细讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角函数综合类型题目的讲解。（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，则cos2α=A.53B.59C.59D.53【考点】三角函数【难度】容易【答案】A【解析】∵sin+cos=33.两边平方，得到1+sin2=13sin2=23∴是第二象限角，因此sin＞0，cos＜0∴-sin+cos=215(sincos)3cos2=(--sin+cos)(sin+cos)=53.【点评】本题考查三角函数的计算及二倍角公式，注意各个象限内三角函数值的符号。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第六章《三角函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。（8）已知F1、F2为双曲线C：222xy－的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=A.14B.35C.34D.45【考点】双曲线及解三角形【难度】中等【答案】C【解析】由题意可知，a=2=b∴c=2设1PF=2X,2PF=X∴1PF-2PF=22x∴1PF=42，2PF=22，12FF=4利用余弦定理则cos∠12FPF=222(42)2243=422242（）.【点评】本题考查在双曲线中利用余弦定理求解三角形问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，其中第06讲中例4有相同类型题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆锥曲线、解三角形相关知识的总结讲解。（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则A.x＜y＜zB.z＜x＜yC.z＜y＜xD.y＜z＜x【考点】对数函数【难度】中等【答案】D【解析】∵ln＞1∴25521loglog∴25log＞2，∴z=121ee∴e＜2∴y＜z＜x.【点评】本题考查对数函数的相关性质，即单调性。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第四章《初等函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对指数函数、对数函数相关知识的总结讲解，其中第02讲中有相同类型题目的讲解。(10)已知函数33yxxc－的图像与x恰有两个公共点，则c＝A.﹣2或2B.﹣9或3C.﹣1或1D.﹣3或1【考点】导数的应用【难度】中等【答案】A【解析】因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，说明函数的极大值或极小值为零即可。【点评】本题考查利用导数判断函数单调性，进而判断函数与坐标轴交点。在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《导数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对导数相关知识的总结讲解，同时还包含很多导数与数列、与圆锥曲线相结合的题目。（11）将字母,,,,,aabbcc排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A.12种B.18种C.24种D.36种【考点】排列【难度】中等【答案】A【解析】本题考查排列组合的运用，利用分布计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，接着填写第二行第一列的数，有2种，所以一共有3×2×2=12种。【点评】本题考查排列的定义及计算方法。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第九章《排列、组合、二项式》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率、排列、组合相关知识的总结讲解，同时包含概率与立体几何相结合的综合题目。（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为A.16B.14C.12D.10【考点】轨迹问题【难度】较难【答案】B【解析】结合已知中的点E，F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可。【点评】本题考查在空间几何体中点的轨迹问题。在高二数学（理）强化提高班上学期，第七章《空间向量与立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中均有对轨迹问题相关知识的总结讲解，同时还包含很多轨迹问题的总结性题目。2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作．．．．．答无效．．．。3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）若x，y满足约束条件-10,-30,3-30,xyxyxy则31zx的最小值为_________.【考点】线性规划【难度】容易【答案】－1【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（0,1）时最小为－1。【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第五章《不等式》有详细讲解，其中第06讲，是线性规划的专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对线性规划相关知识的总结讲解。（14）当函数sin3cos(02)yxxx　＜取得最大值时，x=___________.【考点】三角函数【难度】容易【答案】56【解析】因为 sin3cos2sin()3yxxx－5[0,2][]33,35,326xxxx－－，当－，即Q函数值最大为2.【点评】本题考查三角函数变换。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第五章《三角函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。（15）若1()nxx的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为_________.【考点】二项式定理【难度】中等【答案】56【解析】2681,8()nnCCnxxQ　　展开式的通项公式为：8-21858,822556rrrTCxrrC　令－－，得到＝即为所求.【点评】本题考二项式定理的公式。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第九章《排列、组合、二项式定理》有详细讲解，其中第03讲，例2，属于完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对二项式定理、排列、组合相关知识的总结讲解。（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=50°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.【考点】异面直线之间的夹角【难度】较难【答案】33838【解析】首先根据已知条件，做AH垂直于底面交BC的高线于H,然后可得到侧棱与底为33，设出侧棱长为a,然后利用建立空间直角坐标系，表示异面直线所成的角，以H为原点，建立