2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习233直线与双曲线的位置关系]

第二章2.3第3课时一、选择题1．(2013·惠州一调)已知实数4，m,9构成一个等比数列，m为等比中项，则圆锥曲线x2m＋y2＝1的离心率为()A.306B．7C.306或7D．56或7[答案]C[解析]∵4，m,9成等比数列，∴m2＝36，∴m＝±6.当m＝6时，圆锥曲线方程为x26＋y2＝1，其离心率为306；当m＝－6时，圆锥曲线方程为y2－x26＝1，其离心率为7，故选C.2．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a0)没有公共点，则a的取值范围是()A．a＝1B．0a1C．a1D．a≥1[答案]D[解析]等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是()A．(－153，153)B．(0，153)C．(－153，0)D．(－153，－1)[答案]D[分析]直线与双曲线右支交于不同两点，则由直线与双曲线消去y得到的方程组应有两正根，从而Δ0，x1＋x20，x1x20，二次项系数≠0.[解析]由y＝kx＋2，x2－y2＝6.得(1－k2)x2－4kx－10＝0.由题意，得1－k2≠0，Δ＝16k2＋401－k20，4k1－k20，10k2－10.解得－153k－1.4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的()[答案]C[解析]方程可化为y＝ax＋b和x2a＋y2b＝1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a0，b0矛盾，应排除；D中直线有a0，b0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a0，b0，但直线有a0，b0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a0，b0和直线中a，b一致．应选C.5．(2013·湖北理，5)已知0θπ4，则双曲线C1：x2cos2θ－y2sin2θ＝1与C2：y2sin2θ－x2sin2θtan2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等[答案]D[解析]∵0θπ4，∴双曲线C1的离心率e1＝ca＝cos2θ＋sin2θcosθ＝1cosθ，而双曲线C2的离心率e2＝ca＝sin2θ＋sin2θtan2θsinθ＝sinθ1＋tan2θsinθ＝1＋sin2θcos2θ＝1cos2θ＝1cosθ，∴e1＝e2，故选D.6．设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5B．6C．7D．9[答案]C[解析]∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴ba＝32，∵b＝3，∴a＝2.又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，∴|3－|PF2||＝4.∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．二、填空题7．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－y22＝1交于不同的两点A、B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．[答案]±1[解析]由x－y＋m＝0，x2－y22＝1，消去y得x2－2mx－m2－2＝0.Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，∴线段AB的中点坐标为(m,2m)，又∵点(m,2m)在圆x2＋y2＝5上，∴5m2＝5，∴m＝±1.8．双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为____________________．[答案]3.2[解析]设|PF1|＝m，|PF2|＝n(mn)，∴a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义知，m－n＝2a＝6，又PF1⊥PF2.∴△PF1F2为直角三角形．即m2＋n2＝(2c)2＝100.由m－n＝6，得m2＋n2－2mn＝36，∴2mn＝m2＋n2－36＝64，mn＝32.设点P到x轴的距离为d，S△PF1F2＝12d|F1F2|＝12|PF1|·|PF2|，即12d·2c＝12mn.∴d＝mn2c＝3210＝3.2，即点P到x轴的距离为3.2.9．(2014·天津市六校联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__________________．[答案]x24－y23＝1[解析]椭圆中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7，∴离心率e1＝74，焦点(±7，0)，∴双曲线的离心率e2＝ca＝72，焦点坐标为(±7，0)，∴c＝7，a＝2，从而b2＝c2－a2＝3，∴双曲线方程为x24－y23＝1.三、解答题10．(2013·新课标Ⅱ文，20)在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．[解析](1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3.∴点P的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设与直线y＝x平行且距离为22的直线为l：x－y＋c＝0，由平行线间的距离公式得C＝±1.∴l：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)．即点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.一、选择题11．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有()A.1e21＋1e22＝4B．e21＋e22＝4C.1e21＋1e22＝2D．e21＋e22＝2[答案]C[解析]设椭圆长半轴长为a，双曲线实半轴长为m，则|PF1|＋|PF2|＝2a①||PF1|－|PF2||＝2m②①2＋②2得：2(|PF1|2＋|PF2|2)＝4a2＋4m2，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2代入上式得4c2＝2a2＋2m2，两边同除以2c2得2＝1e21＋1e22，故选C.12．(2014·陕西工大附中四模)F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支．．．．分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.2B．3C.5D．7[答案]D[解析]如图，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，∴|AB|＝|BF1|－|AF1|＝|BF1|－|AF1|＋|AF2|－|BF2|＝(|BF1|－|BF2|)＋(|AF2|－|AF1|)＝4a，∴|BF2|＝4a，|BF1|＝6a，在△BF1F2中，∠ABF2＝60°，由余弦定理，|BF1|2＋|BF2|2－|F1F2|2＝2|BF1|·|BF2|·cos60°，∴36a2＋16a2－4c2＝24a2，∴7a2＝c2，∵e1，∴e＝ca＝7，故选D.13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A．双曲线的一支B．圆C．抛物线D．双曲线[答案]A[解析]设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．二、填空题14．(2013·湖南理，14)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________________．[答案]3[解析]由余弦定理4a2＋4c2－4a22×4a×2c＝cos30°，∴23ac＝3a2＋c2，等式两边同除以a2得e2－23e＋3＝0，∴e＝3.15．(2014·揭阳中学期中)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A、B为椭圆的顶点，当FB⊥AB时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．[答案]5＋12[解析]设中心在坐标原点的双曲线左焦点F，实轴右端点A，虚轴端点B，FB⊥AB，则|AF|2＝|AB|2＋|BF|2，∵|AF|2＝(a＋c)2，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2，∴c2－a2－ac＝0，∵e＝ca，∴e2－e－1＝0，∵e1，∴e＝5＋12.三、解答题16．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y＝12x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．[解析](1)由y＝ax＋1，3x2－y2＝1.消去y得，(3－a2)x2－2ax－2＝0.①依题意3－a2≠0，Δ0.即－6a6且a≠±3②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2a3－a2③x1x2＝－23－a2④∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.∴x1x2＋y1y2＝0，但y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1，由③④知，∴(a2＋1)·－23－a2＋a·2a3－a2＋1＝0.解得a＝±1且满足②.(2)假设存在实数a，使A、B关于y＝12x对称，则直线y＝ax＋1与y＝12x垂直，∴a＝－2.直线l的方程为y＝－2x＋1.将a＝－2代入③得x1＋x2＝4.∴AB中点横坐标为2，纵坐标为y＝－2×2＋1＝－3.但AB中点(2，－3)不在直线y＝12x上．即不存在实数a，使A、B关于直线y＝12x对称．17．过双曲线x29－y216＝1的右焦点作倾斜角为45°的弦AB.求：(1)弦AB的中点C到右焦点F2的距离；(2)弦AB的长．[解析](1)因为双曲线的右焦点为F2(5,0)，直线AB的方程为y＝x－5.由16x2－9y2－144＝0，y＝x－5，消去y，并整理得7x2＋90x－369＝0.如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝－907，x1·x2＝－3697.设AB的中点C的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22＝－457，∴y＝－807.∴|CF2|＝5＋4572＋8072＝8027.(2)|AB|＝2·|x1－x2|＝2[x1＋x22－4x1x2]＝2810049＋14767＝1927.