2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第54讲参数方程与曲线系

P(x,y)θθ(x0,y0)P(x,y)图3图2图1P(x,y)A(x0,y0)θyOxyOxxOy第54讲参数方程与曲线系1．参数方程是联系多个变量之间关系的桥梁，在解题过程中引入参数或参数方程，使多个变量单一化，达到简化计算，解决问题的目的．几种常见的参数方程的形式如下：(1)直线的参数方程x＝x0＋tcosθ，y＝y0＋tsinθ，（t为参数）．其中θ是直线的倾斜角，参数t表示有向线段AP→的数量（其中点A、P的坐标为A(x0，y0)，P(x，y)），如图1所示．(2)圆的参数方程x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ，（θ为参数）．其中r是半径，圆心是(x0，y0)，参数θ表示圆心角，如图2所示．(3)椭圆参数方程x＝x0＋acosθ，y＝y0＋bsinθ，（θ为参数）．其中椭圆中心是(x0，y0)，长半轴长为a，短半轴长为b(a＞b)，参数θ表示离心角，如图3所示．(4)双曲线参数方程x＝x0＋asecθ，y＝y0＋btanθ，（θ为参数）．其中双曲线中心是(x0，y0)，实半轴长为a，虚半轴长为b，θ是参数．(5)抛物线的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt，（t为参数）．其中焦点为（p2，0），准线为x＝－p2．参数或参数方程在求轨迹方程，求极值，求变量取值范围，简化计算或证明方面具有突出的作用．2．常用的直线系方程：(1)过定点(x0，y0)的直线系为：λ1(y－y0)＋λ2(x－x0)＝0，其中λ1、λ2为参数．(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系为：Ax＋By＋λ＝0，其中λ≠C，λ为参数．(3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系为：Bx－Ay＋λ＝0，其中λ为参数．(4)当直线l1与l2的一般式分别为f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0时，曲线系λ1f1(x，y)＋λ2f2(x，y)＝0，其中λ1、λ2为参数①当l1与l2相交时表示通过l1与l2交点的所有直线；②当l1∥l2时，表示与l1平行的一组平行直线．(5)在两坐标轴上截距和为a的直线系为：xλ＋ya－λ＝1，其中λ为参数．(6)与原点距离等于r(r＞0)的直线系为：xcosθ＋ysinθ＝r，其中θ为参数．3．曲线系与圆系：(1)方程f1(x，y)＋f2(x，y)＝0表示的曲线一定经过两条曲线f1(x，y)＝0与f2(x，y)＝0的交点．(反过来，经过它们交点的曲线不一定能用此方程表示)．当需要解决“求过两条曲线的交点作的一条曲线”时，常用此曲线系来解题，可以避免解方程组求交点而直接得出结果．(2)圆系：圆系是求圆的方程的一个重要的方法，同时也是证明四点共圆的简捷途径．对于不同圆心的两个圆Ci＝x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)，则C1＋λC2＝0，(λ为参数)表示共轴圆系．当λ≠－1时，表示圆；当λ＝－1时，退化为一条直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，此直线叫两圆的根轴．对于已知圆C1及圆上一点（m，n），则C1＋λ[(x－m)2＋(y－n)2]＝0，(λ为参数)表示与C1相切于点（m，n）的圆系．4．二次曲线系：一般二次曲线的方程由6个参数确定：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A2＋B2＋C2≠0)．但只要5个独立参数即可确定唯一的二次曲线．①给定5个点，如果其中有三点共线，另两点不在此直线上，则经过此5点的二次曲线是唯一的，是二条直线(退化二次曲线)；②给定5个点，无三点共线，则经过此5点的二次曲线是唯一的．③若有两个二次曲线——C1：F1(x，y)＝0；C2：F2(x，y)＝0，且C1与C2交于不共线4点．则λF1(x，y)＋μF2(x，y)＝0表示所有经过此4个交点的二次曲线．5．用直线方程构成二次曲线系：①如果两条直线li：li(x，y)＝Aix＋Biy＋Ci＝0(i＝1，2)与一条二次曲线：F(x，y)＝0有交点，那么，曲线系λF＋μl1·l2＝0经过这些交点，若它们有四个不共线的交点，则此曲线系包含所有的过此四点的二次曲线．②若有不共线4点Pi(i＝1，2，3，4)，记直线PiPi＋1(P5＝P1)为li(x，y)．则曲线系λl1·l3＋μl2·l4＝0包括了所有过此4点的二次曲线系．③若有不共线3点Pi(i＝1，2，3)，记直线PiPi＋1(P4＝P1)为li(x，y)．则曲线系λl1·l2＋μl2·l3＋ηl3·l1＝0包括了所有过此3点的二次曲线系．④与两条直线li(x，y)＝Aix＋Biy＋Ci＝0(i＝1，2)交于两点M1、M2的二次曲线系为λl1·l2＋μl32＝0．(其中l3为经过M1、M2的直线方程)．6．部分常用的二次曲线系：(1)共焦二次曲线系：x2m2－λ＋y2n2－λ＝1；(2)共顶点二次曲线系：x2a2＋y2λ＝1；(3)共离心率二次曲线系：x2a2＋y2b2＝λ(λ＞0)；(4)共渐近线的双曲线系：x2a2－y2b2＝λ．7．极线方程：从二次曲线外一点引二次曲线的切线，过两个切点的直线．利用曲线系解题实质上是取曲线方程中的特征量(如直线方程中的斜率k、截距b，圆的半径R，二次曲线中的a、b等)作为变量，得到曲线系，根据所给的已知量，采用待定系数法，达到解决问题的目的．常常体现的是参数变换的数学观点和整体处理的解题策略．通常的题型有求点的坐标，求曲线的方程，求图形的性质等等．A类例题例1．椭圆x216＋y24＝1有两点P、Q．O是原点，若OP、OQ斜率之积为－14．求证：|OP|2＋|OQ|2为定值．证明设P(4cosα，2sinα)，Q(4cosβ，2sinβ)，因为kOP·kOQ＝－14，所以2sinα4cosα·2sinβ4cosβ＝－14，即cos(α－β)＝0，则α－β＝±π2＋2kπ，k∈Z．所以|OP|2＋|OQ|2＝16cos2α＋4sin2α＋16cos2β＋4sin2β＝16cos2(β±π2)＋4sin2(β±π2)＋16cos2β＋4sin2β＝20cos2β＋20sin2β＝20为定值．得证．例2．求经过两直线2x－3y＝1，3x＋2y＝2的交点，且平行于直线y＋3x＝0的直线方程．解设所求的直线方程为(2x－3y－1)＋λ(3x＋2y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x＋(－3＋2λ)y＋(－1－2λ)＝0．(1)由于已知直线y＋3x＝0的斜率为－3，所以－2＋3λ－3＋2λ＝－3解得λ＝113．将λ＝113代入(1)化简得39x＋13y－25＝0．此即为所求的直线方程．说明本题还可以采用以下两种思路来求直线方程：思路一：设所求的直线方程为y＋3x＋λ＝0．解出直线2x－3y＝1，3x＋2y＝2的交点，代入到y＋3x＋λ＝0，解出λ即可．思路二：过直线2x－3y＝1，3x＋2y＝2的交点的直线系为(2x－3y－1)＋λ(3x＋2y－2)＝0，即(2＋3λ)x＋(－3＋2λ)y＋(－1－2λ)＝0．与直线y＋3x＝0平行的直线系为y＋3x＋μ＝0(μ≠0)．比较系数2＋3λ3＝－3＋2λ1＝－1－2λμ，解出μ即可．例3．抛物线y2＝2px(p＞0)的内接ΔAOB的垂心为抛物线的焦点F，O为原点，求点A、B的坐标．解由题设条件可知AB与x轴垂直．设A(2pt2，2pt)，则B的坐标为(2pt2，－2pt)．由于焦点F的坐标为F(p2，0)，则AF的斜率为k1＝2pt2pt2－p2＝4t4t2－1；而OB的斜率为k2＝－1t．因为AF与OB垂直，则k1k2＝－1，即4t4t2－1·(－1t)＝－1，解得t＝52．所以A的坐标为A(52p，5p)、B的坐标为B(52p，－5p)．情景再现1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是．2．椭圆x2＋2y2＝2与直线x＋2y－1＝0交于B、C两点，求经过B、C及A(2，2)的圆的方程．3．若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是（）A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动(1984年全国高中数学联赛)B类例题例4．斜率为3的动直线l和两抛物线y＝x2，y＝2x2－3x＋3交于四个不同的点，设这四个点顺次为A、B、C、D(如图)．求证：|AB|与|CD|之差为定值．的斜率为3，所证明设AD的中点为M(x0，y0)，因为直线l以直线l的参数方程为x0＝x0＋12t，y＝y0＋32t．(t为参数)①设MA＝t1，MD＝t2，MB＝t3，MC＝t4，则t1＜t2＜t3＜t4，因而|AB|－|CD|＝(t3－t1)－(t2－t4)＝(t3＋t4)－(t1＋t2)②将①式代入y＝x2，整理得t2＋4(x0－32)t＋4(x20－y0)＝0，由t1＋t2＝0，得x0＝32．将①式代入y＝2x2－3x＋3，整理得DCBAyxOt2＋(4x0－3－3)t＋4(x20－6x0－2y0＋6)＝0，所以t3＋t4＝－4x0＋3＋3，因为x0＝32，所以t3＋t4＝3－3，代入②得：|AB|－|CD|＝3－3是定值．例5．设直线ax＋by＋c＝0与抛物线y2＝4px相交于A、B两点，F是抛物线的焦点，直线AF、BF交抛物线(异于A、B两点)于C、D两点(异于A、B两点)．求直线CD的方程．解设A(pt21，2pt1)、B(pt22，2pt2)、C(pt23，2pt3)、D(pt24，2pt3)．直线AC的方程为：y－2pt1＝2p(t1－t3)p(t21－t23))(x－pt21)，即2x－(t1＋t3)y＋2pt1t3＝0．因为AC经过焦点F(p，0)，所以t3＝－1t1；同理，t4＝－1t2．①因为点A、B在直线ax＋by＋c＝0上，则apt21＋2pbt1＋c＝0，apt22＋2pbt2＋c＝0，即t1、t2是方程apt2＋2pbt＋c＝0的两根．根据根与系数关系，得t1＋t2＝－2ba，t1t2＝cap．设CD的方程为ex＋fy＋g＝0②同理有t3＋t4＝－2fe，t1t2＝gep．所以－2fe＝－(1t1＋1t2)＝－t1＋t2t1t2＝2bpc，则f＝－bpec；gep＝1t1t2＝apc，则g＝ep2ac．把f＝－bpec，g＝ep2ac代入②，并整理得CD的方程为：x－bpy＋ap2＝0．例6．给定曲线族2(2sinθ－cosθ＋3)x2－(8sinθ＋cosθ＋1)y＝0，θ为参数，求该曲线在直线y＝2x上所截得的弦长的最大值．(1995年全国高中数学联赛)解显然，该曲线族恒过原点，而直线y＝2x也过原点，所以曲线族在y＝2x上所截得的弦长仅取决于曲线族与y＝2x的另一个交点的坐标．把y＝2x代入曲线族方程得(2sinθ－cosθ＋3)x2－(8sinθ＋cosθ＋1)x＝0，又2sinθ－cosθ＋3＝5sin(θ－arctan12)＋3≠0，当x≠0时，就有x＝8sinθ＋cosθ＋12sinθ－cosθ＋3，(1)令sinθ＝2u1＋u2，cosθ＝1－u21＋u2，则x＝8u＋12u2＋2u＋1，得2xu2＋2(x－4)u＋(x－1)＝0．由u∈R知，当x≠0时Δ＝[2(x－4)]2－8x(x－1)＝4(－x2－6x＋16)≥0，即x2＋6x－16≤0且x≠0，故－8≤x≤2且x≠0，则|x|max＝8由y＝2x得|y|max＝16，所以所求弦长的最大值为82＋162＝85．说明对于式(1)还可以这样处理：整理得(2x－8)sinθ－(x＋1)cosθ＝1－3x，于是只有当(2x－8)2＋(x＋1)2≥(1－3x)2时方程才有解，即x2＋6x－16≤0．以下同题中解法．情景再现4．在曲线y＝51－x29(－3≤x≤3)上取一点，使它到直线x＋y－10＝0的距离最远，并求出这个最远点．5．设a，b是两个已知正数，且ab，点P、Q在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，若连结点A(－a，0