2013-2014学年高中数学第一章解三角形单元测评(含解析)新人教版必修5

1单元测评解三角形(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．在△ABC中，a＝3，b＝1，B＝30°，则A＝()A．60°B．30°C．120°D．60°或120°解析：由asinA＝bsinB知sinA＝32，又a＞b，∴A＝60°或120°.答案：D2．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形()A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定解析：由A＝130°，而a＜b，可知无解．答案：A3．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，A＝30°，则角C等于()A．30°B．60°或120°C．60°D．120°解析：由余弦定理可得a＝3，根据正弦定理有asinA＝csinC，故sinC＝32，故C＝60°或120°.若C＝60°，则B＝90°＞C，而b＜c，不满足大边对大角，故C＝120°.答案：D4．在△ABC中，B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积为()A．23B.3C．23或43D.3或23解析：如图，AD＝AB·sinB＝3＜2，故△ABC有两解：S△ABC＝12BC·AD＝3，S△ABC′＝12BC′·AD＝23.2答案：D5．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶4∶5，则a∶b∶c等于()A．3∶4∶5B．2∶6∶(3＋1)C．1∶3∶2D．22∶23∶(3＋2)解析：∵A∶B∶C＝3∶4∶5，∴A＝45°，B＝60°，C＝75°.∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶6∶(3＋1)．答案：B6．在△ABC中，bcosA＝acosB，则该三角形为()A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：∵b＝2RsinB，a＝2RsinA，∴sinBcosA＝sinAcosB，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝0或A－B＝π(舍去)，∴A＝B.∴三角形ABC为等腰三角形．答案：C7．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则角A的对边长为()A．5B．6C．7D．8解析：a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，即b2＋c2＋2bc＝400＋a2－40a，∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc，①又cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴b2＋c2－a2＝bc.②又S△ABC＝12bc·sinA＝103，∴bc＝40.③由①②③可知a＝7.答案：C8．如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()3A.3B．53C．63D．73解析：四边形面积可分为求△ABD与△BCD两部分的和，由余弦定理BD＝23，S△BCD＝12BC·CDsin120°＝3，∠ABD＝120°－30°＝90°，∴S△ABD＝12AB·BD＝43.∴S四边形ABCD＝3＋43＝53.答案：B9．△ABC中，若acosB＝bcosA，则该三角形一定是()A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：由acosA＝bcosB，得sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B.∴2A＝2B或2A＋2B＝180°.∴A＝B或A＋B＝90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案：D10．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是()A．5(6＋2)kmB．5(6－2)kmC．10(6＋2)kmD．10(6－2)km4解析：由题意∠BAC＝30°，∠ACB＝75°，ABsin75°＝BCsin30°，∴BC＝10sin75°＝10(6－2)．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在等腰三角形ABC中，已知sinA∶sinB＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是__________．解析：由正弦定理得BC∶AC＝sinA∶sinB＝1∶2，又∵BC＝10，∴AC＝20.∴AB＝AC＝20，∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.答案：5012．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于__________．解析：在△ABC中，由面积公式得S＝12BC·AC·sinC＝12×2·AC·sin60°＝32AC＝3，∴AC＝2，再由余弦定理得：AB2＝BC2＋AC2－2AC·BC·cosC＝22＋22－2×2×2×12＝4，∴AB＝2.答案：213．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ＝__________.5解析：设乙船的速度是v海里/小时，t小时后甲船在C处追上乙船(如图)，则由题意得甲船的速度是3v海里/小时，在△ABC中，AB＝a，AC＝3vt，BC＝vt，∠ABC＝120°，由正弦定理知BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，sin∠BAC＝BCsin∠ABCAC＝vt×sin120°3vt＝12.又0°＜∠BAC＜90°，所以∠BAC＝30°，θ＝60°－∠BAC＝30°.答案：30°14．(2012·宁波高一检测)有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清，具体如下：在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角B＝45°，a＝3，__________.求角A.若已知正确答案为A＝60°，且必须使用所有条件才能解得，请写出一个符合要求的已知条件．解析：在△ABC中，若已知B＝45°，a＝3，A＝60°，则C＝180°－45°－60°＝75°.由正弦定理得AB＝BCsinCsinA＝3×sin75°sin60°＝3×6＋2432＝6＋22，所以已知条件可填AB＝6＋22，另外，若填C＝75°，则未使用所有条件，若填AC的长度，求出A＝60°或120°，不合题意．答案：C＝6＋22三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.6(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．解：(1)由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝12.(4分)由于0＜A＜π，故A＝π3.(6分)(2)因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a2＋c2＝b2，所以B＝π2.(8分)因为D为BC中点，所以BD＝32，AB＝1，所以AD＝12＋322＝72.(12分)16．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A＝π3，sinB＝33.(1)求cosB的值；(2)若2c＝b＋2，求边长b.解：(1)∵sinB＝33＜32＝sinA，∴B＜A，(4分)∴B为锐角，∴cosB＝63.(6分)(2)sinC＝sin(A＋B)＝32×63＋12×33＝32＋36.由正弦定理得bsinB＝csinC，(8分)又c＝b2＋1，故b33＝b2＋132＋36，解得b＝63.(12分)17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为22，求b，c.7解：(1)∵3(cosBcosC＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC，∴3cosBcosC－3sinBsinC＝－1，∴3cos(B＋C)＝－1，(4分)∴cos(π－A)＝－13，∴cosA＝13.(6分)(2)由(1)得sinA＝223，由面积公式12bcsinA＝22可得bc＝6，①根据余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－912＝13，则b2＋c2＝13，②10分①②两式联立可得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.(12分)18．(14分)已知函数f(x)＝msinx＋2cosx(m＞0)的最大值为2.(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)△ABC中，fA－π4＋fB－π4＝46sinAsinB，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C＝60°，c＝3，求△ABC的面积．解：(1)由题意，f(x)的最大值为m2＋2，所以m2＋2＝2.而m＞0，于是m＝2，f(x)＝2sinx＋π4.(2分)由正弦函数的单调性及周期性可得x满足2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)．所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为π4，π.(6分)(2)设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得2R＝csinC＝3sin60°＝23.化简fA－π4＋fB－π4＝46sinAsinB，得8sinA＋sinB＝26sinAsinB.(8分)由正弦定理，得2R(a＋b)＝26ab，a＋b＝2ab.①由余弦定理，得a2＋b2－ab＝9，即(a＋b)2－3ab－9＝0.②将①式代入②，得2(ab)2－3ab－9＝0，解得ab＝3或ab＝－32(舍去)，(12分)故S△ABC＝12absinC＝334.(14分)