2013-2014学年高考数学第二章综合检测新人教A版必修5

1第二章综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a20a10＝()A.23或32B.23C.32D.13或－12[答案]A[解析]在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6，又a4＋a14＝5，∴a4＝2a14＝3或a4＝3a14＝2，又a14＝a4·q10，∴q10＝23或32，∴a20a10＝q10＝23或32.2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且满足Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差数列，则a3等于()A.12B．－12C.14D．－14[答案]C[解析]∵Sn、Sn＋2、Sn＋1成等差数列，∴Sn＋2－Sn＝Sn＋1－Sn＋2.∴an＋2＋an＋1＝－an＋2，∴an＋2an＋1＝－12.又a1＝1，∴a3＝14.3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176[答案]B[解析]本题主要考查等差数列的性质及求和公式．2由条件知a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝a1＋a112＝11×162＝88.4．已知－1，a1，a2,8成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，那么a1a2b2的值为()A．－5B．5C．－52D.52[答案]A[解析]∵－1，a1，a2,8成等差数列，设公差d，∴8－(－1)＝3d，∴d＝3，∴a1＝2，a2＝5，∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，b22＝4，又b2＝－1·q20，∴b2＝－2，∴a1a2b2＝－5.5．等差数列{an}中，an－4＝30，前9项的和S9＝18，前n项的和Sn＝240，则自然数n的值是()A．15B．16C．17D．18[答案]A[解析]前9项和S9＝9a5＝18，∴a5＝2，前n项和Sn＝na1＋an2＝na5＋an－42＝n＋2＝16n＝240，∴n＝15.6．等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于()A．12B．10C．8D．2＋log35[答案]B[解析]由等比数列的性质可知：a5a6＝a4a7＝a3a8＝…＝a1a10，∴a5a6＋a4a7＝2a1a10＝18，∴a1a10＝9.∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a1a10)5＝10.7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于()A．4B．2C．1D．－23[答案]A[解析]S1＝2a1－2＝a1，∴a1＝2，S2＝2a2－2＝a1＋a2，∴a2＝4.8．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A．1.14aB．1.15aC．11×(1.15－1)aD．10(1.16－1)a[答案]C[解析]设从去年开始，每年产值构成数列为{an}，则a1＝a，an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)，从今年起到第5年是求该数列a2到a6的和，应为S6－a1＝a6－1.1－1－a＝11×(1.15－1)a.9．若{an}是等差数列，首项a10，a1007＋a10080，a1007·a10080，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是()A．2012B．2013C．2014D．2015[答案]C[解析]∵a1007＋a10080，∴a1＋a20140，∴S2014＝2014a1＋a201420，∵a1007·a10080，a10，∴a10070，a10080，∴2a1008＝a1＋a20150，∴S2015＝a1＋a201520，故选C.10．有穷数列1,23,26,29，…，23n＋6的项数是()A．3n＋7B．3n＋6C．n＋3D．n＋2[答案]C[解析]此数列的次数依次为0,3,6,9，…，3n＋6，为等差数列，且首项a1＝0，公差d＝3，设3n＋6是第x项，3n＋6＝0＋(x－1)×3，所以x＝n＋3.11．数列22＋122－1，32＋132－1，…，n＋2＋1n＋2－1的前10项和为()4A.1755B．111112C．1143132D．1189132[答案]C[解析]∵n＋2＋1n＋2－1＝n＋2－1＋2n＋2－1＝1＋2nn＋＝1＋1n－1n＋2，∴S10＝10＋1－13＋12－14＋13－15＋…＋110－110＋2＝10＋1＋12－110＋1－110＋2＝1143132.12．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2009＝()A．6B．－6C．3D．－3[答案]B[解析]由条件an＋2＝an＋1－an可得：an＋6＝an＋5－an＋4＝(an＋4－an＋3)－an＋4＝－an＋3＝－(an＋2－an＋1)＝－[(an＋1－an)－an＋1]＝an，于是可知数列{an}的周期为6，∴a2009＝a5，又a1＝3，a2＝6，∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．(2012·辽宁文，14)已知等比数列{an}为递增数列，若a10，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.[答案]2[解析]本题考查了等比数列的通项公式．∵{an}是递增的等比数列，且a10，∴q1，又∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，∵an≠0，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12(舍去)，∴公比q为2.14．(2012～2013学年度辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝________.5[答案]4n＝6n－n＝[解析]当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2＋2n－1－3(n－1)2－2(n－1)＋1＝6n－1，a1＝4不满足上式．∴an＝n＝6n－n.15．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则S9S5＝________.[答案]9[解析]解法一：设等差数列{an}的公差为d，∵a5＝5a3，∴a1＋4d＝5(a1＋2d)，∴a1＝－32d，∴S9S5＝9a1＋12×9×8×d5a1＋12×5×4×d＝－272d＋36d－152d＋10d＝452d52d＝9.解法二：S9S5＝a1＋a92a1＋a52＝9×2a525×2a32＝9a55a3，∵a5＝5a3，∴S9S5＝9a55a3＝9.16．若数列{an}满足a1＝2，an＝1－1an－1，则a2013＝________.[答案]－1[解析]∵a1＝2，an＝1－1an－1，∴a2＝1－1a1＝12，a3＝1－1a2＝－1，a4＝1－1a3＝2，a5＝1－1a4＝12，……∴数列{an}的值呈周期出现，周期为3.∴a2013＝a3＝－1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}、{bn}的通项公式．[解析]设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.由a3＋b3＝17得1＋2d＋3q2＝17，①由T3－S3＝12得q2＋q－d＝4.②6由①、②及q0解得q＝2，d＝2.故所求的通项公式为an＝2n－1，bn＝3×2n－1.18．(本题满分12分)(2013·新课标Ⅱ文，17)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.[解析](1)设{an}的公差为d，由题意，a211＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.19．(本题满分12分)(2012·广东文，19)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解析](1)当n＝1时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，求得a1＝1.(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，∴Sn＝2Sn－1＋2n－1①∴Sn＋1＝2Sn＋2n＋1②②－①得an＋1＝2an＋2，∴an＋1＋2＝2(an＋2)，即an＋1＋2an＋2＝2(n≥2)．求得a1＋2＝3，a2＋2＝6，则a2＋2a1＋2＝2，∴{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴an＋2＝3·2n－1，∴an＝3·2n－1－2，n∈N*.720．(本题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若数列{bn}的前n项和为Sn；求证：数列{Sn＋54}是等比数列．[解析](1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.故{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)因为数列{bn}的前n项和Sn＝54－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2，所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此{Sn＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列．21．(本题满分12分)(2012～2013学年度辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·4n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析](1)由题意，得a2－a1＝3×4，a3－a2＝3×42，a4－a3＝3×43，……an－an－1＝3·4n－1(n≥2)，以上n－1个式子相加，得an－a1＝3(4＋42＋43＋…＋4n－1)＝3×－4n－11－4＝4n－4，8∴an＝a1＋4n－4＝4n－2.a1＝2满足上式，∴an＝4n－2.(2)bn＝nan＝n(4n－2)，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋n·4n－2(1＋2＋…＋n)，设Tn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋n·4n，∴4Tn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1，∴－3Tn＝4＋42＋43＋…＋4n－n·4n＋1＝－4n1－4－n·4n＋1＝4－4n＋1－3－n·4n＋1，∴Tn＝4－4n9＋n·4n＋13＝19[(3n－1)·4n＋1＋4]，∴Sn＝19[(3n－1)·4n＋1＋4]－n(n＋1)．22．(本题满分14分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1,2,3……)，(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1an·a