2015-2016学年高中数学(人教A版)必修二课件章末归纳总结3

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版·必修2第三章直线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2直线与方程第三章第三章直线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2章末归纳总结第三章第三章直线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题突破2知识结构1第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2知识结构第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题突破第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．(1)倾斜角的范围是[0°，180°)．(2)倾斜角与斜率的对应关系①α≠90°时，k＝tanα；②α＝90°时，斜率不存在．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(3)倾斜角与斜率的单调性问题当直线l的倾斜角α从0°增大到90°时，直线l的斜率从0增大到＋∞；当直线l的倾斜角α从90°增大到180°时，直线l的斜率从－∞增大到0.(4)斜率公式：经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)，应用时注意其适用的条件x1≠x2，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2已知直线l过点P(1,1)且与以A(－1,0)、B(3，－4)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．[探究]利用数形结合思想，观察直线的变化情况，根据斜率公式及范围求解，要特别注意当直线与x轴垂直时的情形．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析]如图所示，直线PA的斜率第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2kPA＝1－01－－1＝12，直线PB的斜率kPB＝1－－41－3＝－52.当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是[12，＋∞)，当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是(－∞，－52]．∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－52]∪[12，＋∞)．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2规律总结：借助数形结合思想既可以定性地分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题二直线方程的五种形式的应用问题已知△ABC中，A(1,3)，AB、AC边上中线方程为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程．[探究]本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程．[解析]设AB、AC边的中线分别为CD、BE，其中D、E为中点，∵点B在中线y－1＝0上，∴设点B的坐标为(xB,1)．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1,3)，∴点D的坐标为(xB＋12，2)．∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，∴xB＋12－2×2＋1＝0，∴xB＝5.∴点B的坐标为(5,1)．∵点C在直线x－2y＋1＝0上，∴设点C的坐标为(2t－1，t)．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2∴AC的中点E的坐标为(t，t＋32)．∵点E在中线BE：y＝1上，∴t＋32＝1，∴t＝－1.∴点C的坐标为(－3，－1)，∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0；BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题三两条直线的位置关系(1)已知直线的斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1；l1与l2相交⇔k1≠k2.第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2)已知直线的一般式方程：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1.(3)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程可设为Ax＋By＋C1＝0；与其垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．[探究]对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解；对于(2)，先得出关于a，b的关系，再由原点到l1，l2的距离相等求解．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)＝0，即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，ab＝1－a，b＝a1－a，第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2故l1与l2的方程分别为l1：(a－1)x＋y＋4a－1a＝0，l2：(a－1)x＋y＋a1－a＝0.∵坐标原点到l1，l2的距离相等，∴4|a－1a|＝|a1－a|，a＝2或a＝23.因此a＝2，b＝－2，或a＝23，b＝2.第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题四点、直线间的距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式．求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中x，y的对应项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可转化成点到直线的距离求解．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是7105.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的12；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是2∶5.若能，求出P点坐标；若不能，说明理由．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2[解析](1)l2即2x－y－12＝0，∴l1与l2的距离d＝|a－－12|22＋－12＝7510，∴|a＋12|5＝7510，∴|a＋12|＝72，∵a0，∴a＝3.第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，且|C－3|5＝12·|C＋12|5，即C＝132或C＝116，∴2x0－y0＋132＝0，或2x0－y0＋116＝0；若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x0－y0＋3|5＝25·|x0＋y0－1|2，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2由于P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．联立方程2x0－y0＋132＝0和x0－2y0＋4＝0，解得x0＝－3y0＝12，应舍去．由2x0－y0＋116＝0x0－2y0＋4＝0，解得x0＝19y0＝3718.∴P(19，3718)即为同时满足三个条件的点．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题五对称问题(1)在对称问题中，点关于直线的对称是最基本的也是最重要的对称，解决此类问题要抓住两点：一是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上；二是已知点与对称点的连线与对称轴垂直．几种特殊对称：①关于原点对称：P(x，y)→P′(－x，－y)；②关于x轴对称：P(x，y)→P′(x，－y)；③关于y轴对称：P(x，y)→P′(－x，y)；④关于直线y＝x对称：P(x，y)→P′(y，x)；⑤关于直线y＝－x对称：P(x，y)→P′(－y，－x)．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2(2)与对称有关的最值问题．在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P必在线段AB上，所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的点．在直线l上找一点P到两点A，B的距离之差最大，则点P必定在线段AB(或BA)的延长线上，所以要将l异侧的点利用的对称转化为同侧的点．可以简单记“异侧和最小，同侧差最大”．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2已知点A(3,1)，在直线x－y＝0和y＝0上分别有M和N使△AMN的周长最短，求点M，N的坐标．[探究]分别作出点A关于直线x－y＝0和y＝0的对称点，利用两点之间线段最短来确定△AMN的周长最短．[解析]如图所示，点A关于直线x－y＝0的对称点为A1(1,3)，点A关于直线y＝0的对称点为A2(3，－1)，第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2∵|AM|＝|A1M|，|AN|＝|A2N|，∴|AM|＋|MN|＋|AN|＝|A1M|＋|MN|＋|A2N|≥|A1A2|，∴连接A1A2，与直线x－y＝0和y＝0的交点则分别为M，N点．∵直线A1A2的方程为2x＋y－5＝0，∴分别与直线x－y＝0和y＝0联立得，交点M(53，53)，N(52，0)．故△AMN的周长最短时，点M(53，53)，N(52，0)．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2专题六直线系方程(1)平行直线系：y＝kx＋b(k为常数，b为常数)，表示一组斜率为k的平行直线．(2)共点直线系：y－y0＝k(x－x0)(定点(x0，y0)，k为常数)，表示一束过定点(x0，y0)的直线(不包括直线x＝x0)．(3)过直线l1，l2交点的直线系：设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)表示一束过l1，l2交点的直线(不包括l2)．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·必修2求通过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且距原点距离为1的直线方程．[解析]方法1：由方程组x＋3y－10＝0，3x－y＝0，解得两直线的交点为A(1,3)．(1)当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，符合题意．第三章章末归纳整合成才之路·高中新课程·学习指导·人教版·数学·