2015-2016学年高中数学212第2课时指数函数及其性质的应用学案新人教A版必修1

1第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标]1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题．[知识链接]1．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减．2．复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减．[预习导引]1．函数y＝ax与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．2．形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．3．形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0，且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．4．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．要点一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.2679＜0.3，所以0.72－3＞0.70.3.(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．22．对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．跟踪演练1已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b答案D解析先由函数y＝0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小．要点二指数型函数的单调性例2判断f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域．解令u＝x2－2x，则原函数变为y＝13u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝13xx22在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜13u≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．规律方法1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．2．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．跟踪演练2求函数y＝2xx2-2的单调区间．解函数y＝2xx2-2的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2xx2-2在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2xx2-2的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．要点三指数函数的综合应用3例3已知函数f(x)＝3x－13x＋1.(1)证明f(x)为奇函数．(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明．(3)求f(x)的值域．(1)证明由题知f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＋1＝－x－x－x＋x＝1－3x1＋3x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)解f(x)在定义域上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝32x－132x＋1－31x－131x＋1＝(1－232x＋1)－(1－231x＋1)＝2x－31x1x＋2x＋.∵x1＜x2，∴32x－31x＞0,31x＋1＞0,32x＋1＞0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)为R上的增函数．(3)解f(x)＝3x－13x＋1＝1－23x＋1，∵3x＞0⇒3x＋1＞1⇒0＜23x＋1＜2⇒－2＜－23x＋1＜0，∴－1＜1－23x＋1＜1，即f(x)的值域为(－1,1)．规律方法指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可．跟踪演练3设a＞0，f(x)＝exa＋aex是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(1)解依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，4即exa＋aex＝1aex＋aex，∴a－1aex－1ex＝0对一切x∈R成立．由此得到a－1a＝0，即a2＝1.又a＞0，∴a＝1.(2)证明设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1ex－2ex＋11ex－12ex＝(2ex－1ex)·121exx－1＝(2ex－1ex)1－21exx21exx.∵0＜x1＜x2，∴2ex＞1ex，∴2ex－1ex＞0.又1－21exx＜0，21exx＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)f(x)2.即f(x)在(0，＋∞)上是增函数.1．函数y＝121－x的单调递增区间为()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)答案A解析定义域为R.设u＝1－x，y＝12u.∵u＝1－x在R上为减函数．又∵y＝12u在(－∞，＋∞)为减函数，∴y＝121－x在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A.2．若122a＋1＜123－2a，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，1)D.－∞，125答案B解析原式等价于2a＋1＞3－2a，解得a＞12.3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝12－1.5，则()A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2答案D解析40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y＝2x在R上是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y1＞y3＞y2，故选D.4．某种细菌在培养过程中，每20min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3h，这种细菌由1个可繁殖成________个．答案512解析3h＝9×20min，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个．5．已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝________.答案12解析∵函数f(x)为奇函数，∴f(0)＝a－12＝0.∴a＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.2．指数函数单调性的应用(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．(2)形如ax＞ay的不等式，当a＞1时，ax＞ay⇔x＞y；当0＜a＜1时，ax＞ay⇔x＜y.6一、基础达标1．下列判断正确的是()A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83C．π2＜π2D．0.90.3＞0.90.5答案D解析∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，∴0.90.3＞0.90.5.2．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数答案B解析f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，f(x)为偶函数，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，g(x)为奇函数．3．已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是()A．a＞0B．a＞1C．a＜1D．0＜a＜1答案D解析∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，又f(x)＝a－x＝1ax，∴1a－2＞1a－3，∴1a＞1，∴0＜a＜1.4．若定义运算f(a*b)＝b，a≥b，a，a＜b，则函数f(3x*3－x)的值域是()A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案A解析由定义可知该函数是求a，b中较小的那一个，所以分别画出y＝3x与y＝3－x＝13x的图象，由图象很容易看出函数f(3x*3－x)的值域是(0,1]．75．若函数f(x)＝1x，x＜0，13x，x≥0，则不等式f(x)≥13的解集为________．答案{x|0≤x≤1}解析(1)当x≥0时，由f(x)≥13得(13)x≥13，∴0≤x≤1.(2)当x＜0时，不等式1x≥13明显不成立，综上可知不等式f(x)≥13的解集是{x|0≤x≤1}．6．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．答案4解析设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的142，经过第三次漂洗，存留量为原来的143，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的14x，故解析式为y＝14x.由题意，14x≤1100，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．7．已知函数f(x)＝1＋22x－1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)在(－∞，0)上为减函数．(1)解f(x)＝1＋22x－1，∵2x－1≠0，∴x≠0.∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)证明任意设x1，x2∈(－∞，0)且x1＜x2.f(x1)－f(x2)＝22x1－1－22x2－1＝x2－2x1x1－x2－.∵x1，x2∈(－∞，0)且x1＜x2，∴2x2＞2x1且2x1＜1,2x2＜1.∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)在(－∞，0)上为减函数．二、能力提升88．若函数f(x)＝ax，x＞1，－a2x＋2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(1,8)C．(4,8)D．[4,8)答案D解析由题可知，f(x)在R上是增函数，所以4－a2＞0，a＞1，4－a2＋2≤a，解得4≤a＜8，故选D.9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－12的解集是________．答案(－∞，－1)解析当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1－2x＝－f(x)，则f(x)＝2x－1.当x＝0时，f(0)＝0，由f(x)＜－12，解得x＜－1.10．若函数f(x)＝2a-axx22－1的定义域为R，则实数a的取