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【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章3反证法课时作业北师大版选修2-2一、选择题1.反证法是()A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明C.对其逆命题的证明D.分析法的证明方法[答案]A[解析]反证法是先否定结论,在此基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定原结论的真实性.2.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是()A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解[答案]C3.应用反证法导出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用:①结论相反判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论.()A.①②B.①②④C.①②③D.②③[答案]C4.“M不是N的子集”的充分必要条件是()A.若x∈M,则x∉NB.若x∈N,则x∈MC.存在x1∈M且x1∈N,又存在x2∈M且x2∉ND.存在x0∈M且x0∉N[答案]D[解析]按定义,若M是N的子集,则集合M的任一个元素都是集合N的元素.所以,要使M不是N的子集,只需存在x0∈M,但x0∉N.故选D.5.“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为()A.自然数a、b、c都是奇数B.自然数a、b、c都是偶数C.自然数a、b、c中至少有两个偶数D.自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数[答案]D[解析]恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数,其二是至少有两个偶数.6.若a、b、c不全为零,必须且只需()A.abc≠0B.a、b、c中至少有一个为0C.a、b、c中只有一个是0D.a、b、c中至少有一个不为0[答案]D[解析]a、b、c不全为零,即a、b、c中至少有一个不为0.二、填空题7.某同学准备用反证法证明如下问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)||x1-x2|,求证|f(x1)-f(x2)|12.那么其反设应该是__________________.[答案]如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)||x1-x2|,则|f(x1)-f(x2)|≥12[解析]根据题意知,反证法解题是从假设原命题不成立开始,把结论的否定作为条件,连同其他条件一起经过推断,得出与已知条件或已有原理相矛盾,从而肯定原命题的正确性.这里进行假设时,注意把函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1)剥离出来作为已知条件.8.用反证法证明命题“若p1p2=2(q1+q2),则关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实数根”时,应假设为________.[答案]两个方程都没有实数根三、解答题9.求证:一个三角形中至少有一个内角不小于60°.[证明]已知∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角.求证:∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.证明:假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°,即∠A60°,∠B60°,∠C60°,三式相加得∠A+∠B+∠C180°.这与三角形内角和定理矛盾,∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立.∴一个三角形中,至少有一个内角不小于60°.10.已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列,求证:1a、1b、1c不能构成等差数列.[证明]假设1a、1b、1c能构成等差数列,则由2b=1a+1c,于是得bc+ab=2ac.①而由于a、b、c构成等差数列,即2b=a+c.②所以由①②两式得,(a+c)2=4ac,即(a-c)2=0,于是得a=c,这与a、b、c构成公差不为0的等差数列矛盾.故假设不成立,因此1a、1b、1c不能构成等差数列.一、选择题1.(2014·济南模拟)设x,y,z0,则三个数yx+yz,zx+zy,xz+xy()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2[答案]C[解析]假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6,又yx+yz+zx+zy+xz+xy=(yx+xy)+(yz+zy)+(zx+xz)≥2+2+2=6,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.另取x=y=z=1,可排除A、B.2.(2014·山东理,4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根[答案]A[解析]至少有一个实根的否定为:没有实根.反证法的假设为原命题的否定.3.设a、b、c为一个三角形的三边,S=12(a+b+c),若S2=2ab,试证S2A.用反证法证明该题时的假设为()A.S2≠2abB.S2aC.S≥2aD.S≤2a[答案]C[解析]对“”的否定应为“≥”,故选C.4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形[答案]D[解析]由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形.由sinA2=cosA1=π2-A1,sinB2=cosB1=π2-B1,sinC2=cosC1=π2-C1,得A2=π2-A1,B2=π2-B1,C2=π2-C1.那么,A2+B2+C2=π2,这与三角形内角和为180°相矛盾.所以假设不成立,所以△A2B2C2是钝角三角形.二、填空题5.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________________________.[答案]存在一个三角形,其外角最多有一个钝角.6.设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:(1)存在一条定直线与所有的圆均相切(2)存在一条定直线与所有的圆均相交(3)存在一条定直线与所有的圆均不.相交(4)所有的圆均不.经过原点其中真命题的代号是________.(写出所有真命题的代号)[答案](2)、(4)[解析]判断(1)是否正确用反证法:因为Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*)表示以(k-1,3k)为圆心,以2k2为半径的一组圆,假若存在一条直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与所有的圆均相切,则必有|Ak-+3Bk+C|A2+B2=2k2对于任意k∈N*恒成立,即A2+B2k2-A(k-1)-3Bk-C=0恒成立,或A2+B2k2+A(k-1)+3Bk+C=0恒成立,这是不可能的,故(1)不正确.(2)存在直线y=3(x+1)过所有圆的圆心.(3)由于半径2k2随着k的无限增大而增大,故不存在这样的直线与所有的圆均不相交.(4)由于将x=0,y=0代入方程中得不到恒等式,故所有的圆不经过原点是正确的.三、解答题7.已知a、b是正有理数,a、b是无理数,证明:a+b必为无理数.[证明]假设a+b为有理数,记p=a+b,因为a、b是正有理数,所以p0.将a=p-b两边平方,得a=p2+b-2pb,所以b=p2+b-a2p.因为a、b、p均为有理数,所以b必为有理数,这与已知条件矛盾,故假设错误.所以a+b必为无理数.[点评]数学中的有些命题,所给条件不足以从正面证明结论正确,可采用反证法,否定结论,由此推出与已知或假设矛盾,证得结论.8.已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a1).(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负实数根.[分析](1)可直接用定义证明单调性;(2)应用反证法要注意准确作出反设.[证明](1)任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1x2,则x2-x10.ax2-x11,且ax10,所以ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)0.又因为x1+10,x2+10,所以x2-2x2+1-x1-2x1+1=x2-x1+-x1-x2+x1+x2+=3x2-x1x1+x2+0.于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+x2-2x2+1-x1-2x1+10,故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)假设存在x00(x0≠-1)满足f(x0)=0,则ax0=-x0-2x0+1.又0ax01,所以0-x0-2x0+11,即12x02,与假设矛盾.故x00不成立,故方程f(x)=0没有负实数根.[点评]本题第(2)问如果不用反证法证明也可以利用第(1)问函数单调性证明,即x-1时,f(x)0,-1x≤0时,f(x)≤f(0)=-1,故当x0时,f(x)≠0,所以无负实数根.
本文标题:2015-2016学年高中数学第1章3反证法课时作业北师大版选修2-2
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