2011年高考题全国卷II数学试题

2011年高考题全国卷II数学试题·文科答案123456789101112DBBCADCCAACD13.014.5515.2316.617.【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。【精讲精析】设na的公比为q,由题设得1116630aqaaq解得132aq或123aq，当13,2aq时，132,3(21)nnnnaS当12,3aq时，123,31nnnnaS.18.【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解。【精讲精析】(I)由正弦定理得2222acacb由余弦定理得2222cosbacacB。故2cos2B，因此45B。（II）sinsin(3045)Asin30cos45cos30sin45264故sin2613sin2AabBsinsin6026sinsin45CcbB.19.【思路点拨】此题第（I）问所求概率可以看作“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”和“该地的1位车主购买甲种保险”两个事件的和。由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解。(II)第（II）问，关键是求出“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”的概率，然后再借助n次独立重复试验发生k次的概率计算公式求解即可.【精讲精析】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。（I）P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+BP(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.(II)D=C,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,P(E)=2230.20.80.384C.20.【思路点拨】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。【精讲精析】证明：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。连结SE，则,3SEABSE又SD=1，故222EDSESD所以DSE为直角。由,,ABDEABSEDESEE，得ABSDE平面,所以ABSD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以SDSAB平面（II）由ABSDE平面知，ABCDSDE平面平面作SFDE，垂足为F，则SFABCD平面,32SDSESFDE作FGBC，垂足为G，则FG=DC=1。连结SG，则SGBC又FGBC，SGFGG,故,BCSFGSBCSFG平面平面平面，作FHSG，H为垂足，则FHSBC平面.37SFFGFHSG即F到平面SBC的距离为217。由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也为217。设AB与平面SBC所成的角为，则21sin7dEB,21arcsin7.解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系C-xyz,设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）。又设S（x,y,z），则x0,y0,z0.(I)(2,2,),(,2,),(1,,)ASxyzBSxyzDSxyz由222222||||(2)(2)(2)ASBSxyzxyz得故x=1.由||1DS得221yz，又由||2BS得，222(2)4xyz即22410yzy，故13,22yz。于是13333313(1,,),(1,,),(1,,),(0,,)22222222SASBSDS，0,0DSASDSBS故,DSASDSBS，又ASBSS所以SDSAB平面.（II）设平面SBC的法向量(,,)amnp，则,,0,0,aBSaCBaBSaCB又33(1,,),(0,2,0)22BSCB故3302220mnpn取2p得(3,0,2)a，又(2,0,0)AB21cos,7||||ABaABaABa.故AB与平面SBC所成的角为21arcsin721.【思路点拨】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程。DCASBEFGH(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程()0fx的判别式进行分类讨论.【精讲精析】解：（I）2()3636fxxaxa.由(0)124,(0)36fafa得曲线()yfx在x=0处的切线方程为(36)124yaxa由此知曲线()yfx在x=0处的切线过点（2，2）。（II）由()0fx得22120xaxa（i）当2121a时，()fx没有极小值；(ii)当21a或21a时，由()0fx得221221,21xaaaxaaa故02xx。由题设知21213aaa，当21a时，不等式21213aaa无解；当21a时，解不等式21213aaa得5212a综合(i)(ii)得a的取值范围是5(,21)2。22.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把0.OAOBOP用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明,APBAQB互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.【精讲精析】(I)设1122(,),(,)AxyBxy直线:21lyx，与2212yx联立得242210xx126262,44xx121221,24xxxx由0.OAOBOP得1212((),())Pxxyy122()2xx,121212()(2121)2()21yyxxxx222(1)()122所以点P在C上。（II）法一：12121212(1)(1)22()()22tan(1)(1)1122()()22PAPBPAPByyxxkkAPByykkxx212112123()4()33293()22xxxxxxxx同理212121211122()22tan111122()22QBQAQAQByyxxkkAQByykkxx12211212()4()3213()22xxxxxxxx所以,APBAQB互补，因此A、P、B、Q四点在同一圆上。法二：由2(,1)2P和题设知，2(,1)2Q,PQ的垂直平分线1l的方程为22yx…①设AB的中点为M，则21(,)42M，AB的垂直平分线2l的方程为2124yx…②由①②得1l、2l的交点为21(,)88N22221311||()(1)2888NP,22132||1(2)||2ABxx32||4AM,22221133||()()48288MN,22311||||||8NAAMMN故||||NPNA.||||,||||NPNQNANB所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.