2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第8篇1-3

第八篇第1章第三讲1．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案]C[解析]根据“若n＝k时成立，则n＝k＋1时成立”的逆否命题“若n＝k＋1不成立，那么n＝k不成立”正确，可以判断当n＝5时命题不成立，则n＝4时命题不成立，故选C.2．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k2＋kk＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案]D[解析]没用归纳假设．3．已知数列{an}的各项均为自然数，a1＝1，且它的前n项和为Sn，若对所有的正整数n，有Sn＋1＋Sn＝(Sn＋1－Sn)2成立，通过计算a2，a3，a4，然后归纳出Sn＝()A.n(n＋1)2B.(n＋1)22C.2n－12D.2n－12[答案]A[解析]由已知得Sn＋1＋Sn＝a2n＋1，∴Sn＋Sn－1＝a2n，两式相减得：an＋1＋an＝a2n＋1－a2n，∴an＋1－an＝1，即{an}是等差数列，公差d＝1，∴a2＝2，a3＝3，……an＝n，∴Sn＝n(n＋1)2.故选A.4．若命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立，又已知命题p(1)成立，则下列结论正确的是()A．p(n)对所有自然数n都成立B．p(n)对所有正偶数n成立C．p(n)对所有正奇数n都成立D．p(n)对所有大于1的自然数n成立[答案]C5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)49成立，则当k≥8时，均有f(k)k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立[答案]D[解析]对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.6．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2[答案]C[解析]第n个式子左边从n开始，含有2n－1项，最后一项为3n－2.故为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋[n＋(2n－2)]，右边为和式的项数的平方，故为(2n－1)2.[点评]作为选择题，将n＝2,3代入检验，排除A、B、D知选C.7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1[答案]B[解析]由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝nn＋2an(n≥2)，当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝a13＝13，a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110，猜想an＝2n(n＋1)，故选B.8．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……据此你可归纳猜想出的一般结论为()A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*)D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)[答案]D[解析]观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是(n＋1)2，故选D.9．平面上两条直线最多有一个交点，三条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，则平面上n条直线(n∈N*，n≥2)最多有交点个数为()A.12n(n－1)B.12n(n＋1)C．n2－n－1D．n2＋2n[答案]A[解析]n＝2时，一个交点，排除B、D；n＝3时，三个交点，排除C，故选A.10．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A．190B．715C．725D．385[答案]B[解析]由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，通项an＝4n－3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为n[1＋(4n－3)]2＝2n2－n.则前n件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n2)－(1＋2＋…＋n)＝4n3＋3n2－n6.当n＝10时，总数为715.二、填空题11．用数学归纳法证明“若n为奇数，则xn＋yn能被x＋y整除”时，若假设n＝k时命题成立，则应附加条件________，进而需求证n＝________时命题成立；若假设n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，进而须求证n＝________时命题成立．[答案]k为奇数；k＋2；2k＋112．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第100个数对是________．[答案](9,6)[解析]本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对，设1＋2＋3＋…＋(n－1)≤100，∴n(n－1)2≤100，∴n≤14，当n＝14时，100－n(n－1)2＝9，故这9对数的和都是15.∵15＝1＋14＝2＋13＝…＝9＋6，∴第100个数对为(9,6)．13．如果不等式2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立，则n0的最小值为________．[答案]5[解析]当n＝1时，22不成立，当n＝2时，45不成立．当n＝3时，810不成立当n＝4时，1617不成立当n＝5时，3226成立当n＝6时，6437成立，由此猜测n应取5.14．(09·湖南)将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N*)个全等的小正三角形(图1，图2分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列．若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，f(3)＝________，…，f(n)＝________.[答案]10316(n＋1)(n＋2)[解析]在图(1)中，不妨设A、B、C三点对应数列中的项为xA、xB、xC，则D、E、F分别对应xA＋xB2、xB＋xC2、xC＋xA2，故所有顶点的和为2(xA＋xB＋xC)＝2.在图(2)中，同理可得xE＋xP＝xA＋xB，xM＋xQ＝xA＋xC，xN＋xF＝xB＋xC且xE＋xF＝xM＋xN＝xP＋xQ＝2xD，可求得各顶点的和为103(xA＋xB＋xC)＝103在图(3)中同理可得和为f(4)＝5，故可推得f(n)＝16(n＋1)(n＋2)．[点评]充分利用等差数列的性质是解决本题的关键．三、解答题15．已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且a1＝b1，a2＝b2，a1≠a2.对一切自然数n(n∈N*)恒有an0，求证：当n2时，bnan.[解析]设a1＝b1＝a，由a＋d＝aq，得d＝a(q－1)．由于an0，故d0，∴q1.b3－a3＝aq2－[a＋2a(q－1)]＝aq2－a－2a(q－1)＝a(q－1)(q＋1－2)＝a(q－1)20，∴b3a3，即当n＝3时，bnan成立．假设n＝k(k3且k∈N)时，bkak，则n＝k＋1时，bk＋1－ak＋1＝bk·q－(ak＋d)akq－ak－a(q－1)＝(q－1)(ak－a)＝(q－1)(k－1)·a(q－1)＝a(k－1)(q－1)20，∴bk＋1ak＋1.这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立，故当n2，n∈N，bnan成立．16．已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有a2n≤an－an＋1成立．(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；(2)探究an与1n的大小，并证明你的结论．[解析](1)由a2n≤an－an＋1得an＋1≤an－a2n.∵在正项数列{an}中an0，an＋10，∴an－a2n0，∴0an1，故数列{an}中的任何一项都小于1.(2)解法1：由(1)知0an1＝11，那么a2≤a1－a21＝－a1－122＋14≤1412，由此猜想：an1n.下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时猜想正确．①当n＝2时，显然成立；②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，有ak1k≤12成立．那么ak＋1≤ak－a2k＝－ak－122＋14－1k－122＋14＝1k－1k2＝k－1k2k－1k2－1＝1k＋1，∴当n＝k＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n∈N*，都有an1n.解法2：由a2n≤an－an＋1，得0ak＋1≤ak－a2k＝ak(1－ak)，∵0ak1，∴1ak＋1≥1ak(1－ak)＝1ak＋11－ak，∴1ak＋1－1ak≥11－ak1.令k＝1,2,3，…，n－1得：1a2－1a11，1a3－1a21，…，1an－1an－11，∴1an1a1＋n－1n，∴an1n.17．如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)、…、Pn(xn，yn)(0y1y2…yn)是曲线C：y2＝3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i＝1,2,3，…，n)在x轴的正半轴上，且ΔAi－1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)．(1)求出a1、a2、a3；(2)写出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式并证明．[解析](1)a1＝2，a2＝6，a3＝12.(2)在正△An－1AnPn中可得xn＝an－1＋an2，yn＝an－an－12·tan60°＝32(an－an－1)，∵点Pn(xn，yn)在曲线y2＝3x上，∴32(an－an－1)2＝32(an＋an－1)，∴(an－an－1)2＝2(an＋an－1)，结合(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．下面用数学归纳法予以证明：(1)当n＝1时，命题显然成立；(2)假定当n＝k时命题成立，即有ak＝k(k＋1)，则当n＝k＋1时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2