182二元线性规划问题的图解法1

二元一次不等式（组）与平面区域问题在平面直角坐标系中，直线x+y-1=0将平面分成几部分呢？?不等式x+y-1＞0对应平面内哪部分的点呢？答：分成三部分:（2）点在直线的右上方（3）点在直线的左下方0xy11x+y-1=0想一想？（1）点在直线上右上方点左下方点区域内的点x+y-1值的正负代入点的坐标（1,1）（2,0）（0,0）（2,1）（-1,1）（-1,0）（-1,-1）（2,2）直线上的点的坐标满足x+y-1=0，那么直线两侧的点的坐标代入x+y-1中，也等于0吗?先完成下表，再观察有何规律呢？探索规律0xy11x+y-1=0同侧同号，异侧异号正负1、点集{(x,y)|x+y-10}表示直线x+y－1=0右上方的平面区域；2、点集{(x,y)|x+y-10}表示直线x+y－1=0左下方的平面区域。3、直线x+y-1=0叫做这两个区域的边界。一般地，在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线,以表示区域不包含边界;不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。1、由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可判断Ax+By+C0表示哪一侧的区域。2、方法总结：画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：1、线定界（注意边界的虚实）2、点定域（代入特殊点验证）特别地，当C≠0时常把原点作为特殊点。x+4y4x-y-40典例精析题型一：画二元一次不等式表示的区域例1、画出x+4y4表示的平面区域x+4y=4x+4y4oxy变式：（1）x+4y4（2）x-y-40（3）x-y-40oxyx-y-4=0例2画出不等式y－2x+6表示的平面区域.变式1：2x+y－60区域？y－2x+6练习1画出下列不等式表示的平面区域：(1)2y≥x;(2)3x+2y≥6；(3)2x+5y－100;(4)x－30步骤(1)画直线；变式2：2x+y－6≤0区域？y=－2x+6下方区域上方区域bkxybkxybkxybkxy(2)判断区域.方法一下方区域上方区域bkxybkxybkxybkxy方法一:Ax+By+C0直线右侧区域Ax+By+C0直线左侧区域方法二:(3)2x+5y－100(1)2y≥x;(2)3x+2y≥6(4)x－30例2、画出不等式组表示的平面区域。题型二：画二元一次不等式组表示的区域由于所求平面区域的点的坐标需同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的区域是各个不等式表示的区域的交集，即公共部分。分析：画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：x-y+5≥0x+y≥0x≤3xoy4-55x-y+5=0x+y=0x=393xyxyyx2623画出不等式组表示的平面区域.例2x=32x=y3x+y=63y=x+9练习2画出下列不等式组表示的平面区域：4212yxxy(1)242yyxxy(2)变式2：32623xxyyx4212yxxy(1)242yyxxy(2)返回y=2x+1x+2y=4y=xx+2y=4y=－2xyyx2623画出不等式组表示的平面区域.例2x=32x=y3x+y=63y=x+9练习2画出下列不等式组表示的平面区域：4212yxxy(1)242yyxxy(2)93xy变式2：32623xxyyx跟踪练习如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)＞0的点(x,y)所在区域应为：()By12χO(C)y12χO(D)y12χO(A)y12χO(B)(0,1)(-4,-1)(2,-1)xy题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）例3、写出表示下面区域的二元一次不等式组解析：边界直线方程为x+y-1=0代入原点（0，0)得0+0-1＜0即所求不等式为x+y-1≤0典例精析题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）例3、写出表示下面区域的二元一次不等式xy-2o11-1x-2y+2＞0y≥-1绿色区域蓝色区域x-2y+2＞0y≥-1x+y-1≤0x+y-1≤0紫色区域黄色区域根据平面区域写出二元一次不等式（组）的步骤：方法总结求边界直线的方程代入区域内的点定号写出不等式（组）题型五：综合应用解析：由于在异侧，则（1，2）和（1，1）代入3x-y+m所得数值异号，则有（3-2+m）（3-1+m）0所以（m+1）(m+2)0即：-2m-1试确定m的范围，使点（1，2）和（1，1）在3x-y+m=0的异侧。例4、变式:若在同侧，m的范围又是什么呢？解析：由于在同侧，则（1，2）和（1，1）代入3x-y+m所得数值同号，则有（3-2+m）（3-1+m）＞0所以（m+1）(m+2)＞0即：m-2或m＞-1题型四：综合应用求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积例5、x-y+5≥0y≥20≤x≤22xoy-55DCBAx-y+5=0x=2y=22如图，平面区域为直角梯形,易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以AD=3,AB=2,BC=5故所求区域的面积为S=解析：8253211.判断平面区域位置的方法：2.画平面区域步骤：(1)画直线；(2)判断区域的位置.3.画平面区域应注意的问题：区域边界的虚实.下方区域上方区域bkxybkxybkxybkxy方法一:Ax+By+C0直线右侧区域Ax+By+C0直线左侧区域方法二:18.2.2二元线性规划问题的图解法本节课内容解读二元线性规划问题的图解法(1)能从实际问题中抽象出二元一次不等式组.(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会用图解法解决简单的二元线性规划问题.1.二元一次不等式(组)表示平面区域作二元一次不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C＜0)表示的平面区域的方法步骤:(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0.(2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当C≠0时,常把作为此特殊点.(3)若Ax0+By0+C＞0,则包含点P的半平面为不等式所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式所表示的平面区域.原点Ax+By+C＞0Ax+By+C＜02.线性规划的有关概念（1）线性约束条件——由条件列出一次不等式（或方程）组.（2）线性目标函数——由条件列出一次函数表达式.（3）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题.（4）可行解：满足的解（x，y）.（5）可行域：所有的集合.（6）最优解：使取得最大值或最小值的可行解.线性约束条件可行解目标函数合作讨论，构建新知探究：如图：在平面直角坐标系中，Ax+By+C=0（A＞0，B＞0）表示一条直线，当C取不同的值时，所得的方程就表示不同的直线，这些直线可以看做由直线Ax+By=0平移得到。当直线往右上方平移时，Z=Ax+By的值是增大还是减小？xy0Ax+By=0Z值不断增大为什么？解：∵A＞0，B＞0，∴当直线往右上方平移时，直线上点的横坐标x和纵坐标y的值随之增大，所以Z=Ax+By的值也在不断地增大。如果没有A＞0，B＞0限制条件时，当直线平移时，由于系数A、B符号不同，值Z=Ax+By的变化情况是不同的。解：∵A＞0，B＞0，∴当直线往右上方平移时，直线上点的横坐标x和纵坐标y的值随之增大，所以Z=Ax+By的值也在不断地增大。如果没有A＞0，B＞0限制条件时，当直线平移时，由于系数A、B符号不同，值Z=Ax+By的变化情况是不同的。例1．用图解法解线性规划问题：maxz=2x+3y5x+10y≤40120x+60y≤600x,y≥0xy0x+2y=82x+y=10x+2y=82x+y=10A(4,2)↓x+2y≤82x+y≤10x,y≥0①画（画可行域）②移（移等值线）2x+3y=0x+2y=82x+y=10解方程组③求（求z最值）maxz=2×4+3×2=14解：画直线直线x+2y=8和2x+y=10，其交点为A.如图中的阴影部分就是问题的可行域，将直线2x+3y=0往右上方平移到可行域的顶点A（4,2）时，z取得最大值14.即maxz=2×4+3×2=14x+2y=82x+y=10A(4,2)归纳总结：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）画：在平面直角坐标系内作出可行域.（2）移：作出目标函数的等值线.（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定.（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.最优解1.变式1：求例1中函数z=2x+3y在平面区域5x+10y≤40120x+60y≤600x,y≥0内的取值范围.x+2y=82x+y=10A（0,0）(4,2)解：当2x+3y=0往右上方平移时，直线上的横坐标x随之增大，纵坐标y随之增大，故所对应的z值也随之增大。因此，z=2x+3y在原点0（0,0）取得最小值，在A点（4,2）取得最大值。所以z∈〔0,14〕2.变式2：观察例1的平面区域，若使目标函数z=abx+y(a＞0，b＞0)取得最大值为14，则ab的值为，a+b的最小值为。32x+2y=82x+y=10A(4,2)3解：∵目标函数z=abx+y在A（4,2）处取得最大值为14，∴4ab+2=14∴ab=3.∵a+b≥∴a+b的最小值为32ab2323、变式3：观察例1的平面区域，若使目标函数z=ax+y(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为。21x+2y=82x+y=10A解：由题意知：要使目标函数z=ax+y(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，必须直线ax+y=0与直线x+2y=8平行，即两直线斜率相等。所以a=21214．思考：例1中约束条件下的平面区域的图形面积如何求？x+2y=82x+y=10A思路点拨：求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则的，则可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形然后求解．5.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化合物／kg蛋白质/kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析:①列(列线性约束条件,目标函数)0006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyx＋＋0067146147577yxyxyxyx目标函数为：z＝28x＋21y线性约束条件（三）例题分析②画(画可行域)767573717172747573116714yx577yx6147yx③移(平移目标函数,寻找最优解)M6714577yxyx解方程组解得7471yx④求(求Z的最值)如何求点M的坐标?zmin＝28x＋21y＝1628X+21y=0(1)解决线性规划实际应用题的一般步骤:①认真审题,分析并掌握实际问题的背景,设出未知数,写出线性约束条件和目标函数.②作出可行域.③作出目标函数值为零时对应的直线l.④在可行域内平行移动直线l,从图中能判定问题有唯一最优解,或是有无穷最优解或无最优解.⑤求出最