2012全国各地中考数学试题分类解析汇编代数综合

用心爱心专心1(精编版)2012全国各地中考数学试题分类解析汇编代数综合问题1.（2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：(1)写出奇数a用整数n表示的式子；(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...请回答：当x的取值从0开始每增加12个单位时，y的值变化规律是什么？当x的取值从0开始每增加1n个单位时，y的值变化规律是什么？【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。（2）有理数b=mn（n≠0）。（3）①当x的取值从0开始每增加12个单位时，列表如下：xi012345...yi01491625...yi+1－yi1357911...xi012132252...用心爱心专心2故当x的取值从0开始每增加12个单位时，y的值依次增加14、34、54…2i14。②当x的取值从0开始每增加1n个单位时，列表如下：故当x的取值从0开始每增加1n个单位时，y的值依次增加21n、23n、25n…22i1n。【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。yi0141944254...yi+1－yi1434547494114...xi01n2n3n4n5n...yi021n24n29n216n225n..yi+1－yi21n23n25n27n29n211n...用心爱心专心32.（2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴1212bcxx=pxx=qaa，。（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。∵d=|x1﹣x2|，∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。∴当p=2时，d2的最小值是4。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。3.（2012广东湛江12分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2，∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，用心爱心专心4即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为；（2）分式不等式的解集为；（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．【答案】解：（1）x＞4或x＜﹣4。（2）x＞3或x＜1。（3）∵2x2﹣3x=x（2x﹣3）∴2x2﹣3x＜0可化为x（2x﹣3）＜0由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得x02x30①或x02x30②。解不等式组①，得0＜x＜32，解不等式组②，无解。∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜32。【考点】有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可。（2）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。（3）将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，化为两个一元一次不等式组求解即可。4.（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程2x+x1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以yx=2把yx=2代入已知方程，得2yy+1=022化简，得：2y+2y4=0故所求方程为2y+2y4=0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）用心爱心专心5（1）已知方程2x+x2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：；（2）已知关于x的一元二次方程2ax+bx+c=0a0有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数。【答案】解：（1）y2－y－2=0。（2）设所求方程的根为y，则1yx（x≠0），于是1xy（y≠0）。把1xy代入方程2ax+bx+c=0，得211a+b+c=0yy，去分母，得a+by+cy2=0。若c=0，有2ax+bx=0，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。∴c≠0。∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）。【考点】一元二次方程的应用。【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y。把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0。（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。5.（（2012江苏南京9分）“？”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。我的结果也正确小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？”结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．用心爱心专心6变化一下会怎样……（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．CDD'C'B'BA'Acbda【答案】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由。在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为ym，则长为2ym。则矩形蔬菜种植区域的宽为（y－1－1）m，长为（2y－3－1）m。∵2y312y4 2y11y2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1。（2）a+cb+d=2。理由如下：要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要ADADABAB，即ADac2ABbd1，即2ABac2ABbd1，即a+cb+d=2。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质。【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得ADADABAB，然后利用比例的性质。6.（2012江苏盐城12分）知识迁移：当0a且0x时，因为2()axx≥0,所以2axax≥0,从而用心爱心专心7axx≥2a(当xa时取等号).记函数(0,0)ayxaxx,由上述结论可知：当xa时,该函数有最小值为2a.直接应用：已知函数1(0)yxx与函数21(0)yxx,则当x_________时,12yy取得最小值为_________.变形应用：已知函数11(1)yxx与函数22(1)4(1)yxx,求21yy的最小值,并指出取得该最小值时相应的x的值.实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米,求当x为多少时,该汽车平均每．．．千米的运输成本．．．．．．．最低？最低是多少元？【答案】解：直接应用：1；2。变形应用：∵221(1)44(1)(1)11yxxxyxx，∴21yy有最小值为244。当14x，即1x时取得该最小值。实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则20.0011.63603603600000.0011.60.001()1.6xxyxxxxx，用心爱心专心8∴当360000600x(千米)时,该汽车平均每千米的运输成本y最低，最低成本为0.00123600001.62.8元。【考点】二次函数的应用，几何不等式。【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：∵函数(0,0)ayxaxx,由上述结论可知：当xa时,该函数有最小值为2a，∴函数1(0)yxx与函数21(0)yxx，则当11x时，12yy取得最小值为212。变形运用：先得出21yy的表达式，然后将1x看做一个整体，再运用所给结论即可。实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案。7.（2012四川内江12分）如果方程20xpxq的两个根是12,xx，那么1212,.,xxpxxq请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程20,(0),xmxnn求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足2215a50,1550abb,求abba的值；（3）已知a、b、c满足0,16abcabc求正数c的最小值。【答案】解：（1）设关于x的方程20,(0)xmxnn的两根为12,xx，则有：1212,.xxmxxn，且由已知所求方程的两根为1211,xx∴12121211xxmxxxxn，12121111xxxxn。用心爱心专心9∴所求方程为210mxxnn，即210(0)nxmxn。（2）∵a、b满足221550,1550aabb，∴a、b是方程21550xx的两根。∴15,5abab。∴2222221522475abababababb