2-3复变函数.

1回顾导数、微分、解析函数基本概念：基本关系：可导与连续、可导与可微、可导与解析(3)函数在区域内解析区域内可导(可微)函数在一点可导函数在一点解析(2)(１)在一点可导是局部定义,在一点解析是整体概念.(4)函数在闭域内解析在包含区域内可导(可微)DD2定理一),(),()(yxivyxuzf:)(可导的充要条件是内一点在则yixzDzf设函数定义在区域Ｄ内.,)RC(,),(),(),(xvyuyvxuyxyxvyxu方程柯西－黎曼并且在该点满足可微在点与xyxyuuvv可导的充要条件().uvvvuuvufziiiixxyxxyyy3内解析的充要条件二、函数在区域D.,),(),(:),(),()(程并且满足柯西－黎曼方内可微在与内解析的充要条件是域在其定义函数定理二DyxvyxuDyxivyxuzfxvyuyvxu,解析函数的判定方法:（１）由解析函数的定义，证明函数在区域Ｄ内可导；),(),()(yxivyxuzf（２）若中的u，v在Ｄ内有一阶偏导数且连续，并且满足Ｃ－Ｒ条件，则由函数解析的充要条件可得．4.)(,,),(),()(2zfuvDyxivyxuzf求并且内解析在区域设例5解)(,12yuuyvxu)(,22xuuxvyu(1)(2)得代入将,0xu,0)14(2uxu0)14(2u由,0(2)yu得由),(常数所以cu2icczf)(.)(,)(为一常数内区域在则内处处为零在区域如果DzfDzfxvixuzf)(,0yuiyv例6,0xvyuyvxu故,,常数常数所以vu.)(内为一复常数在区域因此Dzf5.,)(则以下条件彼此等价内解析在区域如果Dzf;)()1(恒取复常数zf;0)()2(zf;)()3(常数zf;)()4(解析zf;)](Re[)5(常数zf;)](Im[)6(常数zf.)(arg)7(常数zf6例7),(.),(,),(:)(),(),()(为常数其中必正交那么曲线族为解析函数，且若21210icccyxvcyxuzfyxvyxuzf证明思路:只需证曲线交点处切线垂直.切线的斜率分别为:12;xxyyuvkkuv讨论xxvu,0)(xvixuzf不全为零xxvu,72.对数函数的解析性质在除去负实轴（包括原点）的复平面内，主值支和其他各分支处处连续，处处可导,处处解析．.arglnlnzizz1.指数函数ez的处处解析初等函数的解析性.)(zzee3.幂函数的解析性1)(zz析；为正整数和零，处处解外处处解析；为负整数，除0z.的区域解析原点外复数，除去负半实轴和为既约分数、无理数、第三节调和函数一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考9一、调和函数的定义定义.),(0,,),(2222内的调和函数为区域那末称并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数内具在区域如果二元实变函数DyxyxDyx调和函数在物理上应用较广，如静电场的力函数与势函数，流速场的流函数与势函数等都是调和函数。.2222斯算子为运算符，称为拉普拉记yx10二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系(定理2.3)任何在区域D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数.证,)(内的一个解析函数为设Divuzfw.,xvyuyvxu那末.,222222yxvyuxyvxu从而因为解析函数有任意阶的导数,11,02222yuxu从而,02222yvxv同理.都是调和函数与因此vu[证毕]yyxxiuvivuzf)(的一阶偏导连续。的解析性，由vuzf,)(yxyxxyxyxxxxiuviuvivuzf)(的所有二阶偏导连续。的解析性，由vuzf,)(2222fzzxyixy是解析函数，222fzxyixy不是解析函数。反之不一定成立.例如：12.,,的共轭调和函数称为函数中的两个调和内满足方程在uvxvyuyvxuD2.共轭调和函数的定义.),(),(,),(的共轭调和函数称为函数内构成解析函数的调和在们把使我内给定的调和函数为区域设yxuyxvDivuDyxu区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.（不是互为）.2.4的共轭调和函数是实部的虚部内，的充要条件是在内解析在区域函数定理),(),()(),(),()(yxuyxvzfDDyxivyxuzf133.共轭调和函数的求法解例132(,)3,(,),uxyyxyvxy证明为调和函数并求其共轭调和函数和由它们构成的解析函数,6xyxu因为,622yxu,3322xyyu,622yyu偏积分法,02222yuxu于是.),(为调和函数故yxu已知一个调和函数,利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数,从而构成一个解析函数.uvivu(0).fi且14,6xyxuyv因为yxyvd6),(32xgxy),(32xgyxvyuxv又因为,3322xy,6xyxu,3322xyyu)(32xgy,3322xy)(为任意实常数cxxxgd3)(2故,3cx,3),(23cxyxyxv得一个解析函数).3(32323cxyxiyxyw).()(3czizfw(0)fi又，1c故，3()(1).fziz所以15如何把化为z的函数f(z)(,)(,)uxyivxy除了复数共轭的性质2,zzx2zzyi还可以利用归零法：令y=0，则(,0)(,0)()uxivxfx然后用z替换x，即得f(z)的表达式.16平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有.0ddLyQxP(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)yQxPyxudd),(d(4)在D内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束17曲线积分法dyxudxyu是调和函数，所以因为u.2222xuyu即02222xuyu由曲线积分的知识知，当D为单连通域时，积分与路径无关。Cdyxudxyuyxvyxyx][),(),(),(00][),(),(dyxudxyuyxyx000Cdyxudxyuyxyx][),(),(0注：若(0,0)∈D,则上式中,常取(x0,y0)=(0,0)dyyvdxxvdv1822().,()1.fzuivuxxyyfii由下列条件求解析函数例2dyyxdxxydyyvdxxvdvxyyuxvyxxuyv)2()2(22解cyxyxcdyyxxdxcdyyxdxxyyxvyxoyx222)2()2()2(),(220),()0,0(曲线积分法19icziiciyxiiyxcyxyxixyyxzf2222222)211()(2)()21221()()(故2)21()(211)21(1)(22izizfciiciiiif代入上式得，)(21),(21zziyzzx20例3(,)arctan(0)(,),().yvxyxzxuxyfzuiv验证在右半平面内是调和函数，再求使为解析函数解根据调和函数的定义可知v(x,y)是右半z平面的调和函数.22,vyxxy因为22222,vxyxxy22,vxyxy22222,vxyyxy(,)2222(1,0)(,)xyxyuxydxdyxyxyuududxdyxy22101xyydxdyxxy2222xydxdyxyxy221lnln()ln2xxyxc221ln()2xyc221()ln()arctan.2yfzxycix21不定积分法.,),(),(分法函数的方法称为不定积用不定积分求解析或已知调和函数yxvyxu不定积分法的实施过程:,)()(仍为解析函数的导数解析函数zfivuzfxxivuzf)(且yxiuuxyivv,来表示用与把zivviuuxyyx),()(zUiuuzfyx),()(zVivvzfxy22将上两式积分,得,d)()(czzUzf,d)()(czzVzf,)(zfu求适用于已知实部,)(zfv求适用于已知虚部23例4).(1)(,)(,.,22zfifivuzfvkyxuk的并求为解析函数使再求为调和函数使值求解根据调和函数的定义可得,1k,2xxu因为,222xu,2kyyu,222kyuyxiuuzUzf)()(因为kyix22yix22,2zzzzfd2)(根据不定积分法,2cz,1)(if由,0c得.2)(222zxyiyxzf24用不定积分法求解例1中的解析函数yxiuuzUzf)()(,32izzizzfd3)(2,13ciz),,)((1为任意纯虚数所以常数实的任意常数不可能包含的实部为已知函数因为czf例4.3),(23yxyyxu实部解)(为任意实常数c).()(3czizf故)(zf)33(622xyixy254.平面电场的复势均为调和函数；，电位电通正交，，等位线电力线21kk解析函数),(),()(yxiyxzf电场中的复势(复电位)电力线（等位线）方程等位线（电力线）方程与复势复势（解析函数）电场情形(例2.10)(例2.11)26三、小结本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是:1.任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.2.满足柯西—黎曼方程ux=vy,vx=–uy,的v称为u的共轭调和函数,u与v注意的是地位不能颠倒.27已知共轭调和函数中的一个，可利用C-R方程求得另一个，从而构成一个解析函数。已知解析函数的实部(或调和函数)求虚部共轭调和函数)的偏积分法，(,,.()().()uxyuuxyvuyxvuvdygxdygxyxvugxxy：1.求2.根据C-R件,确定再根据,求出.步骤设为调和函数条28CRuuvvdudxdydxdyxyyx方程由然后两端积分。由求其共轭调和函数已知：方程dyudxudyyvdxxvdvyxvyxuxyRC:),(),,(类似地，然后两端积分得，)(),(),(),(00cdyvdxvyxuyxyxxy曲线积分法)(),(),(),(00cdyxudxyuyxvyxyx292.2(5),2.10,2.11(1)填空，选择（练习）作业预习第三章第一节：复积分的概念