2012届高考数学限时训练(函数模型及其应用)

A级课时对点练(时间：40分钟满分：70分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．(2010·江苏南通一模)从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为________．解析：所倒次数1次，则y＝19；所倒次数2次，则y＝19×1920……所倒次数x次，则y＝191920x－1＝201920x.答案：y＝201920x2．(2010·山东烟台模拟)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系用如图所示曲线表示．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为________小时．解析：本小题考查函数与不等式．由图知fx)＝4t0≤t≤1，12t－3t1，则f(t)≥0.25，解之得116≤t≤5.答案：415163．某厂产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，这两年平均增长率为x，则x与a＋b2的大小关系是________．解析：设第一年产量为M，根据已知条件M(1＋a)(1＋b)＝M(1＋x)2，即x＋1＝a＋1b＋1≤a＋b＋22，∴x≤a＋b2(当且仅当a＝b时等式成立)．答案：x≤a＋b24.公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________．解析：如题图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD的长度，根据相似三角形的性质可得BD20＝50100，∴BD＝10.答案：10元5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是________．解析：根据汽车加速行驶s＝12at2，匀速行驶s＝vt，减速行驶s＝－12at2结合函数图象可知填①.答案：①6．某林厂年初有森林木材存量1080m3，若木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量xm3，为保证经过两次砍伐后木材的存量增加50%，则x的值为________．解析：据题意可知砍伐第一次后木材存量为1080(1＋25%)－x，第二次砍伐后木材存量为[1080(1＋25%)－x]·(1＋25%)－x，据题意得：[1080(1＋25%)－x]·(1＋25%)－x＝1080(1＋50%)⇒x＝30.答案：307．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg火箭(除燃料外)的质量mkg的关系是v＝2000ln(1＋Mm)，当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.解析：依题意，2000ln(1＋Mm)≤12000，∴ln(1＋Mm)≤6，∴1＋Mm≤e6，故Mm≤e6－1.答案：e6－18．(2010·连云港模拟)某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480(元)，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)．答案：582.6二、解答题(共30分)9．(本小题满分14分)在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解：设该店月利润余额为L，则由题设得：L＝Q(P－14)×100－3600－2000①由销量图易得：Q＝－2P＋5014≤P≤20－32P＋4020P≤26代入①式得L＝－2P＋50P－14×100－560014≤P≤20－32P＋40P－14×100－560020P≤26(1)当14≤P≤20时，由Lmax＝450元，此时P＝19.5(元)；当20P≤26时，Lmax＝12503(元)，此时P＝613(元)．故当P＝19.5(元)时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n年内脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．10．(本小题满分16分)(2010·江苏泰州模拟)如图所示，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形草地，P是弧TS上一点，其余部分都是空地．现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在BC和CD上的长方形停车场PQCR.(1)设∠PAB＝α，长方形PQCR的面积为S，试建立S关于α的函数关系式；(2)当α为多少时，S最大，并求最大值．解：(1)∠PAB＝α，α∈0，π2，PQ＝100－90cosα，PR＝100－90sinα，S＝PQ·PR＝(100－90cosα)(100－90sinα)＝10000－9000(sinα＋cosα)＋8100sinα·cosα.(2)设sinα＋cosα＝t，t∈[]1，2，则S＝10000－9000t＋8100·t2－12＝4050t－1092＋950，∴当t＝2时，即α＝π4时，Smax＝14050－90002(m2)．答：当α＝π4时，S最大，最大值为14050－90002(m2)．B级素能提升练(时间：30分钟满分：50分)一、填空题(每小题5分，共20分)1．(2010·江苏无锡)某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n－10)，n10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝0n≤10，10010n≤15，20015n≤20，30020n≤25，400n25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多________元．解析：k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1600(元)．又∵k(21)＝300(元)，∴f(21)＝300×(21－10)＝3300(元)，∴f(21)－f(18)＝3300－1600＝1700(元)．答案：17002．(2010·辅仁高级中学月考)某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是P＝x4，Q＝a2x(a0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a的最小值应为________．解析：设投入资金x万元经销甲商品，则经销乙商品投入资金(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝x4＋a2·20－x.令y≥5，则x4＋a2·20－x≥5，∴a20－x≥10－x2，即a≥1220－x对0≤x≤20恒成立．而f(x)＝1220－x的最大值为5，且x＝20时，a20－x≥10－x2也成立，∴amin＝5.答案：53．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水速度如图甲、乙所示，某天0点到6点该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)；给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则一定正确的论断是________．解析：从丙图可知在0点到3点，蓄水量由0增加到6，因此是两个进水口同时打开了，且出水口没有打开，故①正确；从3点到4点，蓄水量由6减少到5，减少了1，所以是一个进水口和一个出水口同时打开了，故②错误；从4点到6点，蓄水量不变，由于题设要求至少打开一个水口，故在该时段内是打开了两个进水口和一个出水口，故③错误．答案：①4．国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值V(美元)与其重量ω(克拉)的平方成正比，若把一颗钻石切割成重量分别为m，n(m≥n)的两颗钻石，且价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%(切割中重量损耗不计)，则价值损失的百分率的最大值为________．解析：价值损失的百分率＝m＋n2－m2＋n2m＋n2＝2mnm＋n2≤2m＋n22m＋n2＝12.答案：12二、解答题(共30分)5．(本小题满分14分)上海某商店经销一种世博会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元的税收(a为常数，2≤a≤5)．根据市场调查，每件产品的日售价x(35≤x≤41)元与日销售量P(x)件的关系如下表所示．现有日销售量P(x)的三种模拟函数：①P(x)＝kex；②P(x)＝kex；③P(x)＝ke30＋x.日售价x35363738394041日销售量P(x)10e510e410e310(1)为准确研究日销售量情况，应选择哪种模拟函数，为什么？(2)求该商品的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式．(3)当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大？求出L(x)的最大值．解：(1)应选择模拟函数②，理由略(2)L(x)＝(x－30－a)10e40ex＝10e40·x－30－aex(35≤x≤41)(3)当2≤a≤4时，每件产品的日售价为35元时，该商店的日利润L(x)最大，为10(5－a)e5元；当4a≤5时，每件产品的日售价为(a＋31)元时，该商店的日利润L(x)最大，为10e9－a元6．(本小题满分16分)某加工厂需定期购买材料，已知每斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值．解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需要保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管(x－1)天．∴每次购买的原材料在x天内的保管费用：y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为(6x2－6x＋600＋1.5×400x)元，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝600x＋6x＋594.∴y≥2600x·6x＋594＝714.当且仅当600x＝6x，即x＝10时取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，最少费用为714元．