2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估6

单元质量评估六(第六章)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合M＝{x|x24}，N＝{x|x2－2x－30}，则集合M∩N等于()A．{x|x－2}B．{x|x3}C．{x|－1x2}D．{x|2x3}解析：M＝{x|－2x2}，N＝{x|－1x3}，则M∩N＝{x|－1x2}．答案：C[来源:学,科,网]2．当abc时，下列不等式恒成立的是()A．abacB．a|c|b|c|C．|ab||bc|D．(a－b)|c－b|0解析：∵abc，∴(a－b)0.又∵|c－b|0，∴选D.[来源:学科网]答案：D3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．②C．①②③D．③解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的．答案：C4．下列符合三段论推理的形式的为()A．如果p⇒q，p真，则q真B．如果b⇒c，a⇒b，则a⇒cC．如果a∥b，b∥c，则a∥cD．如果ab，c0，则acbc解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论．答案：B5．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，经计算得f(2)＝32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，观察上述结果，可推测出一般结论()A．f(2n)2n＋12B．f(n2)≥n＋22C．f(2n)≥n＋22D．以上都不对[来源:学。科。网Z。X。X。K]解析：∵f(2)＝32，f(4)2＝42，f(8)52，f(16)3＝62，f(32)＝72，∴猜想：f(2n)≥n＋22.答案：C6．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数．答案：D7．若a1,0b1，则下列不等式中正确的是()A．ab1B．ba1C．logab0D．logba0解析：a1,0b1，则logabloga1＝0.答案：C[来源:学.科.网]8．若x，y是正数，则x＋12y2＋y＋12x2的最小值是()A．3B.72C．4D.92解析：x＋12y2＋y＋12x2＝x2＋xy＋14y2＋y2＋yx＋14x2＝x2＋14x2＋xy＋yx＋14y2＋y2≥1＋2＋1＝4，当且仅当x＝y＝22时，取等号．答案：C9．以原点为圆心的圆全部在区域x－3y＋6≥0x－y＋2≥0内，则圆的面积的最大值为()A.185πB.95πC．2πD．π解析：据条件画出线性可行域，结合图形，要使得以原点为圆心的圆的半径最大，只有圆与直线x－y＋2＝0相切时，圆的半径最大，即R＝22＝2，此时圆的最大面积为S＝π(2)2＝2π.答案：C10．若a＝ln264，b＝ln2ln3，c＝ln2π4，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．abcD．acb解析：∵ln264＝(ln2＋ln32)2(2ln2ln32)2＝ln2ln3，∴ab，∵ln2π4＝(lnπ2)2(ln42)2＝ln22ln2ln3，∴bc.综上可知，abc，选A.答案：A11．(2010·抚顺二模)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率是2，则b2＋13a的最小值为()A.233B.33C．2D．1解析：由e＝2得，ca＝2，从而b＝3a0，所以3a2＋13a＝a＋13a≥2a·13a＝213＝233，当且仅当a＝13a，即a＝33时，“＝”成立．故选A.答案：A12．(2011·潍坊质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)0恒成立，则当x3时，x2＋y2的取值范围是()A．(3,7)B．(9,25)C．(13,49)D．(9,49)解析：由函数f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，函数f(x)为奇函数，所以不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)0可化为f(x2－6x＋21)－f(y2－8y)＝f(－y2＋8y)．又因为函数f(x)在R上为增函数，故必有x2－6x＋21－y2＋8y，即x2－6x＋21＋y2－8y0，配方得(x－3)2＋(y－4)24.因为x3，故不等式组表示为x－32＋y－424x3，它表示的区域为如上图所示的半圆的内部．而x2＋y2表示该区域内的点到坐标原点距离的平方．由图可知，x2＋y2的最小值在点A处取得，但因为该点在边界的分界线上，不属于可行域，故x2＋y232＋22＝13，而最大值为圆心(3,4)到原点的距离与半径之和的平方，但因为该点在半圆的边界上，不属于可行域，故x2＋y2(5＋2)2＝49，故13x2＋y249.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝sinx＋5x，x∈(－1,1)若f(1－a)＋f(1－a2)0，则a的取值范围是__________．解析：由f(x)在(－1,1)上是单调递增的奇函数，由f(1－a)＋f(1－a2)0成立，转化为1－aa2－1－11－a1－1a2－11⇒1a2.答案：(1，2)14．(2010·重庆一诊)已知正数x、y满足2x－y≤0x－3y＋5≥0，则z＝(14)x·(12)y的最小值为________．解析：由题意得z＝(12)2x＋y，因此要求z的最小值，只要求出m＝2x＋y的最大值即可．在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的可行域及直线2x＋y＝0，平移直线2x＋y＝0到经过该可行域内的点(1,2)时，m＝2x＋y取到最大值4，故z＝(14)x·(12)y的最小值是116.答案：11615．(2011·宿州模拟)如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是________，53的“分裂”中最小的数是________．解析：由已知中“分裂”可得故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.答案：92116．由图(1)有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB，则由图(2)有体积关系：VP－A′B′C′VP—ABC＝________.[来源:学科网]解析：设三棱锥C′—PA′B′的高为h′，三棱锥C—PAB的高为h，则h′h＝PC′PC，故VP—A′B′C′VP—ABC＝S△PA′B′·h′S△PAB·h＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.答案：PA′·PB′·PC′PA·PB·PC三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)在三角形中有下面的性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的中位线等于第三边的一半；(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；(4)三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆半径)．请类比出四面体的有关相似性质．解：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的中位面(过棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一．(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心．(4)四面体的体积为V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r(r为四面体内切球的半径，S1，S2，S3，S4分别为四面体的四个面的面积)．[来源:学+科+网Z+X+X+K]18．(12分)已知a0，b0，求证b2a＋a2b≥a＋b.证明：b2a＋a2b－(a＋b)＝(b2a－a)＋(a2b－b)＝b＋ab－aa＋a＋ba－bb＝(a－b)(a＋b)(1b－1a)＝1ab(a－b)2(a＋b)，∵a0，b0，∴b2a＋a2b≥a＋b.19．(12分)已知不等式log2(ax2－3x＋6)2的解集是{x|x1或xb}．(1)求a，b的值；(2)解不等式c－xax＋b0(c为常数)．解：(1)不等式log2(ax2－3x＋6)2⇔ax2－3x＋20，由已知，该不等式的解集是{x|x1或xb}．[来源:学.科.网Z.X.X.K]∴1＋b＝3a1·b＝2a，解得a＝1b＝2.(2)当a＝1，b＝2时，不等式c－xax＋b0变为c－xx＋20.∴x－cx＋20，即(x－c)(x＋2)0.∴当c－2时，解集为(c，－2)；当c＝－2时，解集为空集；当c－2时，解集为(－2，c)．20．(12分)2011·江苏苏州调研经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－12|t－10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．解：(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·(20－12|t－10|)＝(40－t)(40－|t－10|)＝30＋t40－t，0≤t10，40－t50－t，10≤t≤20.(2)当0≤t10时，y的取值范围是[1200,1225]，在t＝5时，y取得最大值为1225；当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1200]，在t＝20时，y取得最小值为600.21．(12分)(2011·广东六校联考)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．[来源:学科网ZXXK](1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式；(3)求1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn－1的值．解：(1)∵f(1)＝1,f(2)＝5,f(3)＝13,f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.[来源:Z.xx.k.Com](2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.(3)当n≥2时，1fn－1＝12n2－2n＋1－1＝12(1n－1－1n)，[来源:Z。xx。k.Com]∴1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn－1＝1＋12(1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n)＝1＋12(1－1n)＝32－12n.22．(12分)已知函数f(x)＝13x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an与1的大小，并说明理由．解：∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1.∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由an≥1，得a2≥(