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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 资本运营 > 2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估2
单元质量评估二(第二章)时间:120分钟分值:150分一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=11-x2的定义域为M,g(x)=log2(1-x)(x≤-1)的值域为N,则∁RM∩N等于()A.{x|x1}B.ØC.{y|y≥1或y≤-1}D.{x|x≥1}解析:可求得集合M={x|-1x1},集合N={g(x)|g(x)≥1},则∁RM={x|x≤-1或x≥1},[来源:学|科|网Z|X|X|K]∴∁RM∩N={x|x≥1},故选D.答案:D2.设f(x)=|x-1|-2,|x|≤111+x2,|x|1,则f(f(12))等于()A.12B.413C.-95D.2541解析:∵f(12)=|12-1|-2=-32,∴f(f(12))=f(-32)=11+-322=413.答案:B3.(2011·福建龙岩模拟)已知函数y=f(x)与y=ex互为反函数,函数y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,若g(a)=1,则实数a的值为()A.-eB.-1eC.1eD.e解析:由y=f(x)与y=ex互为反函数,得f(x)=lnx(x0),因为y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,故有g(x)=-lnx(x0),g(a)=1⇒lna=-1,∴a=1e.答案:C4.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如下图,其中a,b为常数.则函数g(x)=ax+b的大致图象是()解析:由f(x)=loga(x+b)为减函数可得0a1,y=loga(x+b)是由y=logax向左平移b个单位得到的,且0b1,所以g(x)=ax+b的图象为减函数且是由y=ax向上平移了b个单位,故选D.答案:D5.已知函数f(x)=ln(x+x2+1),若实数a,b满足f(a)+f(b-1)=0,则a+b等于()A.-1B.0C.1D.不确定解析:观察得f(x)在定义域内是增函数,而f(-x)=ln(-x+x2+1)=ln1x+x2+1=-f(x),∴f(x)是奇函数,则f(a)=-f(b-1)=f(1-b),∴a=1-b,即a+b=1.[来源:学&科&网][来源:学§科§网Z§X§X§K]答案:C6.函数f(x)=-(cosx)|lg|x||的部分图象是()解析:特殊值法,通过分离函数得f1(x)=-cosx,f2(x)=|lg|x||,由于f2(x)=|lg|x||≥0,观察函数f1(x)=-cosx的符号即可,由于x∈(-π2,0)∪(0,π2)时,f1(x)=-cosx0,[来源:Zxxk.Com]可以得到正确结果.答案:C7.(2011·皖南八校联考)已知二次函数f(x)的图象如下图所示,则其导函数f′(x)的图象的大致形状是()解析:由函数f(x)的图象知:当x∈(-∞,1]时,f(x)为减函数,∴f′(x)≤0;当x∈[1,+∞)时,f(x)为增函数,∴f′(x)≥0.结合选项知选C.答案:C8.已知函数f(x)=xex,则f′(2)等于()A.e2B.2e2C.3e2D.2ln2解析:∵f(x)=xex,∴f′(x)=ex+xex.∴f′(2)=e2+2e2=3e2.故选C.答案:C9.函数f(x)=ax3-x在(-∞,+∞)内是减函数,则()A.a1B.a13C.a0D.a≤0解析:f′(x)=3ax2-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤13x2在(-∞,+∞)上恒成立,而13x20,∴a≤0.故选D.答案:D10.将函数y=f′(x)sinx的图象向左平移π4个单位,得到函数y=1-2sin2x的图象,则f(x)是()A.2sinxB.cosx[来源:学科网]C.sinxD.2cosx解析:y=1-2sin2x=cos2x,向右平移π4个单位得cos2(x-π4)=cos(2x-π2)=sin2x=2cosx·sinx,故f′(x)=2cosx,∴f(x)=2sinx,故选A.答案:A11.(2010·湖北调研)已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:①f(x)=axg(x)(a0,a≠1);②g(x)≠0;③f(x)g′(x)f′(x)g(x).若f1g1+f-1g-1=52,则a等于()A.54B.12C.2D.2或12解析:记h(x)=fxgx=ax,则有h′(x)=f′xgx-fxg′xg2x0,即axlna0,故lna0,0a1.由已知得h(1)+h(-1)=52,即a+a-1=52,a2-52a+1=0,故a=12或a=2,又0a1,因此a=12,选B.答案:B12.若函数f(x)=loga(x3-ax)(a0,a≠1)在区间(-12,0)上单调递增,则a的取值范围是()A.[14,1)B.[34,1)C.(94,+∞)D.(1,94)[来源:学#科#网Z#X#X#K]解析:设u(x)=x3-ax,由复合函数的单调性,可分0a1和a1两种情况讨论:①当0a1时,u(x)=x3-ax在(-12,0)上单调递减,即u′(x)=3x2-a≤0在(-12,0)上恒成立,∴a≥34,∴34≤a1;②当a1时,u(x)=x3-ax在(-12,0)上单调递增,即u′(x)=3x2-a≥0在(-12,0)上恒成立,∴a≤0,∴a无解,综上,可知34≤a1,故选B.[来源:学科网ZXXK]答案:B二、填空题(每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=ax2+x+1的值域为R,则函数g(x)=x2+ax+1的值域为________.解析:要使f(x)的值域为R,必有a=0,于是g(x)=x2+1,值域为[1,+∞).答案:[1,+∞)14.若f(x)是幂函数,且满足f4f2=3,则f(12)=________.解析:设f(x)=xα,则有4α2α=3,解得2α=3,α=log23,∴f(12)=(12)log23=2-log23=13.答案:1315.(2011·济南模拟)已知a=0π(sint+cost)dt,则(x-1ax)6的展开式中的常数项为________.解析:a=0π(sint+cost)dt=(sint-cost)|π0=(sinπ-cosπ)-(sin0-cos0)=2,所以(x-1ax)6的展开式的通项为Tr+1=Cr6x6-r(-12x)r=(-1)r2-rCr6x6-2r,令6-2r=0,得r=3,故常数项为(-1)32-3C36=-52.答案:-5216.设函数f(x)=2x,-2≤x0gx-log5x+5+x2,0x≤2,若f(x)为奇函数,则当0x≤2时,g(x)的最大值是________.解析:由于f(x)为奇函数,当-2≤x0时,f(x)=2x有最小值为f(-2)=2-2=14,故当0x≤2时,f(x)=g(x)-log5(x+5+x2)有最大值为f(2)=-14,而当0x≤2时,y=log5(x+5+x2)为增函数,考虑到g(x)=f(x)+log5(x+5+x2),结合当0x≤2时,f(x)与y=log5(x+5+x2)在x=2时同时取到最大值,故[g(x)]max=f(2)+log5(2+5+22)=-14+1=34.答案:34三、解答题(本大题共6个小题,共计70分,写出必要的文字说明、计算步骤,只写最后结果不得分)17.(10分)如下图所示,图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图象,图2是函数g(x)=loga(x+b)的部分图象.(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式;(2)如果函数y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,求m的取值范围.解:(1)由题图1得,二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2),故可设函数f(x)=a(x-1)2+2,又函数f(x)的图象过点(0,0),故a=-2,整理得f(x)=-2x2+4x.由题图2得,函数g(x)=loga(x+b)的图象过点(0,0)和(1,1),故有logab=0,loga1+b=1,∴a=2,b=1,∴g(x)=log2(x+1)(x-1).(2)由(1)得y=g(f(x))=log2(-2x2+4x+1)是由y=log2t和t=-2x2+4x+1复合而成的函数,而y=log2t在定义域上单调递增,要使函数y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,必须t=-2x2+4x+1在区间[1,m)上单调递减,且有t0恒成立.由t=0得x=2±62,又t的图象的对称轴为x=1.所以满足条件的m的取值范围为1m2+62.18.(12分)已知关于x的方程9x+m·3x+6=0(其中m∈R).(1)若m=-5,求方程的解;(2)若方程没有实数根,求实数m的取值范围.解:(1)当m=-5时,方程即为9x-5·3x+6=0,令3x=t(t0),方程可转化为t2-5t+6=0,解得t=2或t=3,由3x=2得x=log32,由3x=3得x=1,故原方程的解为1,log32.(2)令3x=t(t0).方程可转化为t2+mt+6=0①要使原方程没有实数根,应使方程①没有实数根,或者没有正实数根.当方程①没有实数根时,需Δ=m2-240,解得-26m26;当方程①没有正实数根时,方程有两个相等或不相等的负实数根,这时应有Δ=m2-24≥0,-m0,解得m≥26.综上,实数m的取值范围为m-26.19.(12分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(a+b)=f(a)+f(b),且x0时,f(x)0,f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明:∵f(a+b)=f(a)+f(b),令a=-b,得f(0)=f(a)+f(-a);令a=b=0,得f(0)=2f(0),[来源:Z&xx&k.Com]∴f(0)=0.∴f(a)+f(-a)=0(a∈R).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数.(2)解:设x1x2,x1、x2∈Rf(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)0,∴f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).∴函数f(x)在R上是单调递减的.∴f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3),最小值是f(3).∵f(1)=-2,∴f(2)=f(1)+f(1)=-4,f(3)=f(2)+f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6.∴f(x)在[-3,3]上的最大值为6,最小值为-6.20.(12分)(2010·济南模拟)已知函数f(x)=ln1+xx.(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)设h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值,求a的取值范围.解:(1)由题知f′(x)=xx+1-ln1+xx2,设g(x)=xx+1-ln(1+x)(x0),则g′(x)=1x+12-1x+1=-xx+120在(0,+∞)上恒成立,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,∴g(x)g(0)=0,∴f′(x)0.因此f(x)在(0,+∞)上单调递减.(2)由h(x)=x·f(x)-x-ax3可得,h′(x)=1x+1-1-3ax2=-x3ax2+3ax+1x+1,若a≥0,对任意x∈(0,2),h′(x)0,∴h(x)在(0,2)上单调递减,则f(x)在(0,2)上无极值.若a0,h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x)=3ax2+3ax+1在(0,2)上有零点,又φ(x)在(-12,+∞)上单调,∴φ(0)·φ(2)0,解得a-118.综上,a的取值范围是(-∞,-118).21.(12分)(2011·东北三校二模)已知f(x)=x2ln(ax)(a0).(1)若曲线y=f(x)在x=ea处的切线斜率为3e,求a的值;(2)求f(x)在[1e,e]上的最小值.解:(1)∵f′(x)=2x
本文标题:2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估2
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