2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估2

单元质量评估二(第二章)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝log2(1－x)(x≤－1)的值域为N，则∁RM∩N等于()A．{x|x1}B．ØC．{y|y≥1或y≤－1}D．{x|x≥1}解析：可求得集合M＝{x|－1x1}，集合N＝{g(x)|g(x)≥1}，则∁RM＝{x|x≤－1或x≥1}，[来源:学|科|网Z|X|X|K]∴∁RM∩N＝{x|x≥1}，故选D.答案：D2．设f(x)＝|x－1|－2，|x|≤111＋x2，|x|1，则f(f(12))等于()A.12B.413C．－95D.2541解析：∵f(12)＝|12－1|－2＝－32，∴f(f(12))＝f(－32)＝11＋－322＝413.答案：B3．(2011·福建龙岩模拟)已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为()A．－eB．－1eC.1eD．e解析：由y＝f(x)与y＝ex互为反函数，得f(x)＝lnx(x0)，因为y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，故有g(x)＝－lnx(x0)，g(a)＝1⇒lna＝－1，∴a＝1e.答案：C4．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如下图，其中a，b为常数．则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是()解析：由f(x)＝loga(x＋b)为减函数可得0a1，y＝loga(x＋b)是由y＝logax向左平移b个单位得到的，且0b1，所以g(x)＝ax＋b的图象为减函数且是由y＝ax向上平移了b个单位，故选D.答案：D5．已知函数f(x)＝ln(x＋x2＋1)，若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b等于()A．－1B．0C．1D．不确定解析：观察得f(x)在定义域内是增函数，而f(－x)＝ln(－x＋x2＋1)＝ln1x＋x2＋1＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，则f(a)＝－f(b－1)＝f(1－b)，∴a＝1－b，即a＋b＝1.[来源:学&科&网][来源:学§科§网Z§X§X§K]答案：C6．函数f(x)＝－(cosx)|lg|x||的部分图象是()解析：特殊值法，通过分离函数得f1(x)＝－cosx，f2(x)＝|lg|x||，由于f2(x)＝|lg|x||≥0，观察函数f1(x)＝－cosx的符号即可，由于x∈(－π2，0)∪(0，π2)时，f1(x)＝－cosx0，[来源:Zxxk.Com]可以得到正确结果．答案：C7．(2011·皖南八校联考)已知二次函数f(x)的图象如下图所示，则其导函数f′(x)的图象的大致形状是()解析：由函数f(x)的图象知：当x∈(－∞，1]时，f(x)为减函数，∴f′(x)≤0；当x∈[1，＋∞)时，f(x)为增函数，∴f′(x)≥0.结合选项知选C.答案：C8．已知函数f(x)＝xex，则f′(2)等于()A．e2B．2e2C．3e2D．2ln2解析：∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex.∴f′(2)＝e2＋2e2＝3e2.故选C.答案：C9．函数f(x)＝ax3－x在(－∞，＋∞)内是减函数，则()A．a1B．a13C．a0D．a≤0解析：f′(x)＝3ax2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤13x2在(－∞，＋∞)上恒成立，而13x20，∴a≤0.故选D.答案：D10．将函数y＝f′(x)sinx的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)是()A．2sinxB．cosx[来源:学科网]C．sinxD．2cosx解析：y＝1－2sin2x＝cos2x，向右平移π4个单位得cos2(x－π4)＝cos(2x－π2)＝sin2x＝2cosx·sinx，故f′(x)＝2cosx，∴f(x)＝2sinx，故选A.答案：A11．(2010·湖北调研)已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)＝axg(x)(a0，a≠1)；②g(x)≠0；③f(x)g′(x)f′(x)g(x)．若f1g1＋f－1g－1＝52，则a等于()A.54B.12C．2D．2或12解析：记h(x)＝fxgx＝ax，则有h′(x)＝f′xgx－fxg′xg2x0，即axlna0，故lna0,0a1.由已知得h(1)＋h(－1)＝52，即a＋a－1＝52，a2－52a＋1＝0，故a＝12或a＝2，又0a1，因此a＝12，选B.答案：B12．若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a0，a≠1)在区间(－12，0)上单调递增，则a的取值范围是()A．[14，1)B．[34，1)C．(94，＋∞)D．(1，94)[来源:学#科#网Z#X#X#K]解析：设u(x)＝x3－ax，由复合函数的单调性，可分0a1和a1两种情况讨论：①当0a1时，u(x)＝x3－ax在(－12，0)上单调递减，即u′(x)＝3x2－a≤0在(－12，0)上恒成立，∴a≥34，∴34≤a1；②当a1时，u(x)＝x3－ax在(－12，0)上单调递增，即u′(x)＝3x2－a≥0在(－12，0)上恒成立，∴a≤0，∴a无解，综上，可知34≤a1，故选B.[来源:学科网ZXXK]答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f(x)＝ax2＋x＋1的值域为R，则函数g(x)＝x2＋ax＋1的值域为________．解析：要使f(x)的值域为R，必有a＝0，于是g(x)＝x2＋1，值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)14．若f(x)是幂函数，且满足f4f2＝3，则f(12)＝________.解析：设f(x)＝xα，则有4α2α＝3，解得2α＝3，α＝log23，∴f(12)＝(12)log23＝2－log23＝13.答案：1315．(2011·济南模拟)已知a＝0π(sint＋cost)dt，则(x－1ax)6的展开式中的常数项为________．解析：a＝0π(sint＋cost)dt＝(sint－cost)|π0＝(sinπ－cosπ)－(sin0－cos0)＝2，所以(x－1ax)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6x6－r(－12x)r＝(－1)r2－rCr6x6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，故常数项为(－1)32－3C36＝－52.答案：－5216．设函数f(x)＝2x，－2≤x0gx－log5x＋5＋x2，0x≤2，若f(x)为奇函数，则当0x≤2时，g(x)的最大值是________．解析：由于f(x)为奇函数，当－2≤x0时，f(x)＝2x有最小值为f(－2)＝2－2＝14，故当0x≤2时，f(x)＝g(x)－log5(x＋5＋x2)有最大值为f(2)＝－14，而当0x≤2时，y＝log5(x＋5＋x2)为增函数，考虑到g(x)＝f(x)＋log5(x＋5＋x2)，结合当0x≤2时，f(x)与y＝log5(x＋5＋x2)在x＝2时同时取到最大值，故[g(x)]max＝f(2)＋log5(2＋5＋22)＝－14＋1＝34.答案：34三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)如下图所示，图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图象，图2是函数g(x)＝loga(x＋b)的部分图象．(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；(2)如果函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，求m的取值范围．解：(1)由题图1得，二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f(x)＝a(x－1)2＋2，又函数f(x)的图象过点(0,0)，故a＝－2，整理得f(x)＝－2x2＋4x.由题图2得，函数g(x)＝loga(x＋b)的图象过点(0,0)和(1,1)，故有logab＝0，loga1＋b＝1，∴a＝2，b＝1，∴g(x)＝log2(x＋1)(x－1)．(2)由(1)得y＝g(f(x))＝log2(－2x2＋4x＋1)是由y＝log2t和t＝－2x2＋4x＋1复合而成的函数，而y＝log2t在定义域上单调递增，要使函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，必须t＝－2x2＋4x＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t0恒成立．由t＝0得x＝2±62，又t的图象的对称轴为x＝1.所以满足条件的m的取值范围为1m2＋62.18．(12分)已知关于x的方程9x＋m·3x＋6＝0(其中m∈R)．(1)若m＝－5，求方程的解；(2)若方程没有实数根，求实数m的取值范围．解：(1)当m＝－5时，方程即为9x－5·3x＋6＝0，令3x＝t(t0)，方程可转化为t2－5t＋6＝0，解得t＝2或t＝3，由3x＝2得x＝log32，由3x＝3得x＝1，故原方程的解为1，log32.(2)令3x＝t(t0)．方程可转化为t2＋mt＋6＝0①要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根．当方程①没有实数根时，需Δ＝m2－240，解得－26m26；当方程①没有正实数根时，方程有两个相等或不相等的负实数根，这时应有Δ＝m2－24≥0，－m0，解得m≥26.综上，实数m的取值范围为m－26.19．(12分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且x0时，f(x)0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明：∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝－b，得f(0)＝f(a)＋f(－a)；令a＝b＝0，得f(0)＝2f(0)，[来源:Z&xx&k.Com]∴f(0)＝0.∴f(a)＋f(－a)＝0(a∈R)．∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(2)解：设x1x2，x1、x2∈Rf(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)0，∴f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)．∴函数f(x)在R上是单调递减的．∴f(x)在[－3,3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)．∵f(1)＝－2，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－4，f(3)＝f(2)＋f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.20．(12分)(2010·济南模拟)已知函数f(x)＝ln1＋xx.(1)确定y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)设h(x)＝x·f(x)－x－ax3在(0,2)上有极值，求a的取值范围．解：(1)由题知f′(x)＝xx＋1－ln1＋xx2，设g(x)＝xx＋1－ln(1＋x)(x0)，则g′(x)＝1x＋12－1x＋1＝－xx＋120在(0，＋∞)上恒成立，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴g(x)g(0)＝0，∴f′(x)0.因此f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)由h(x)＝x·f(x)－x－ax3可得，h′(x)＝1x＋1－1－3ax2＝－x3ax2＋3ax＋1x＋1，若a≥0，对任意x∈(0,2)，h′(x)0，∴h(x)在(0,2)上单调递减，则f(x)在(0,2)上无极值．若a0，h(x)＝x·f(x)－x－ax3在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x)＝3ax2＋3ax＋1在(0,2)上有零点，又φ(x)在(－12，＋∞)上单调，∴φ(0)·φ(2)0，解得a－118.综上，a的取值范围是(－∞，－118)．21．(12分)(2011·东北三校二模)已知f(x)＝x2ln(ax)(a0)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝ea处的切线斜率为3e，求a的值；(2)求f(x)在[1e，e]上的最小值．解：(1)∵f′(x)＝2x