(哈工大)4控制系统的稳定性gai

第四章控制系统的稳定性第一节引言电机恒定的能力统中保持电机电压为常见的电压自动调节系系统的稳定性。例如，的这一种本能通常叫做继续工作下去，系统态（相对稳定状态）下地在另一新的平衡状去掉后，仍有能力自动破坏，但在外部干扰态（相对稳定状态）被虽然它的原有平衡状系统受到外界干扰后，系统。也就是说，当必须首先是一个稳定的正常的工作，它一个自动控制系统要能,系统的一个动态属性。。可见稳定性乃是可能是一个稳定的系统显然它不其偏差量越来越大到外界干扰后假如系统在受敛性偏差量的过渡过程的收系统的外界干扰后定性就是系统受到小的所谓系统的稳由上面所讲的含义可见定系统。统被称为不稳反之不具有稳定性的系系统系统被称为稳定的等都是。具有稳定性的行为一定的能力以及火箭飞行中保持航力机转速为一定的能自动调速系统中保持电,,,,,;,这类系统的最佳运行状态。在解决况，保证系统的正常和适应新的情要求而加以改变，才能往需要根据性能指标的，往即使是系统结构的本身系统都是一些非线性或时变而且大较复杂现代控制系统的结构比是很难胜任的来说但一般些特定的系统上应用上述稳定判据尚能在某方法转化虽说通过一些对系统的统但对于非线性或时变系断定性进行判稳定性判据对系统的稳判据或可用线性定常系统若所讨论的系统是一个任意小的规定量衡位置的大小系统的被调量偏离其平式中.,.,,,,,NyquistHurwitz-outh,x(t)x(t)limRt否则便是不稳定的。点附近周围是稳定的，作的复根，则该系统在工或者是具有负实数部分，式的根全部是负实数根如果线性化的特征方程。方程来近似地加以描述可以用线性化了的微分作点附近的一定范围内还指出非线性系统在工统的稳定性，同时，他根据解的性质来判断系统的微分方程，然后。第一法是通过求解系法简称第一法和第二方法性的问题，归纳成两种判断系统稳定年，李雅普诺夫就如何稳定性的理论。夫第二法而得到的一些方法还是基于李雅普诺稳定性方面，最通用的)(1892定性。因此应用李氏就能用来判断系统的稳出的稳定性理论准则函数符合李雅普诺夫提能量函数。只要这一但它并非是一个真正的衡量系统积蓄的能量，辅助函数，可以用它来李雅普诺夫创造了一个到一个极小值。由此，则系统积蓄的能量必达系统运动到平衡点时，时，平衡点，则当他指出：若系统有一个能量的观点出发得来的行分析和判断。它是从可以对系统的稳定性进求解系统的微分方程就法）的特点是不必李氏第二法（亦称直接t.,,,,,,效的结果已经有了许多卓有成有重新重视理论的研究分析和应用所以近期对李氏析遇到很大困难稳定判据对稳定性的分其他复杂但由于系统额结构日益定性判据已能解决问题前面提到的其他一些稳说较简单制系统在结构上相对来过去的控应用的原因之一，何况稳定理论未能得到广泛期内李氏过去的一段相当长的时的一般方法，这也是在函数有一个简便的寻求李氏可惜直到目前为止还没数。通常称为李雅普诺夫函此函数到一个合适的辅助函数定理的关键在于能否找第二节李雅普诺夫意义下稳定性的定义。被称为系统的平衡状态则时当的稳定性的含义一，李雅普诺夫意义下同。原理中所讲的也有所不就其概念来说，与调节所示的那么简单，而且解释，不象定性的含义有其自己的定理论时，对于稳当李雅普诺夫谈到其稳eX0),f()(limtXtxet.,)t(tX-)t,x(t;,)t,x(t;X(t))t,x(t;),()(X-X:)(0e000000e为给定的常数其中其范数为：的所有各点的球域即的解是含有方程它的范数为件可以画出一个球域设对应于系统的初始条txfXSS),(tX-)t,x(t;,X0),(,0),(0e00e0稳定的。李雅普诺夫意义下是则称系统的平衡状态恒有时使得当存在一个实数点于任意选定的对若系统XtttxfXe-1.李雅普诺夫稳定：则称这种平衡状态为一致稳定的平衡状态。一般决定球域大小的,0有关有关也与与t,0无关时与t当0X时当3n0,Xe状态平面表示一个圆时当它代表矢量的长度它等于：被称为欧几里德范数。其中可写成的球域时为半径为圆心态应用范数表示以平衡状,X2,0X)X()X()X(XXX,,X2221ee2en2e222e11eeeecxxXnXXxXXRXRn-------状态空间表示一个球,232221cxxxX稳定。是李雅普诺夫意义下的系统的平衡状态则称出发的轨迹不离开无限增加时从eXSSt),()(使得当若存在一个球域于每一个球域对定性可以解释为李雅普诺夫意义下的稳),()(,SS)(S)(SeX指的就是这种情况。即近稳定的。则称此类平衡状态是渐之外，而且最后收敛于不仅不能超出球域时当内出发的任意一个解又从球域的稳定在李雅普诺夫意义下是如果平衡状态渐近稳定性)(lim)(,)(,X.2etxXStSte)(S)(SeX2.渐近稳定性.,,,),(,的渐近稳定就叫做在大范围内那么系统的平衡状态于都收敛时当的每一个解如果有或大范围内的渐近稳定。这时的平衡状态称做是则迹都保持渐近稳定性果由这些状态出发的轨eeXXttxfX如状态空间中的所有各点对于所有的状态大范围内的渐近稳定性),(.3)(S)(SeX3.大范围内的渐近稳定因而是有局限性的。到扰动的大小范围问题没有涉及只牵涉到小的扰动所讲的稳定性的概念中的要求。过去调节系统使它能满足系统稳定性的大小从而可以设法抑制干扰系统的抗干扰程度才能明了这一知道渐近稳定性的范围个局部概念因为渐近稳定是一要的确定稳定的范围是很重定性的就一定是大范围渐近稳只要是渐进稳定的点线性系统只有一个平衡说明,,,,,,,,2..,,.1:说明：不稳定的。是之外，这时称平衡状态超出球域的轨迹最终会，使得从这一状态出发态一个初始状周围的球域内总存在着状态在平衡小不管这两个实数有多么数和任意一个实如果对于某个实数不稳定性eeXSXX)(,,00..40eX4.不稳定性.:0:(1).()0,0,()0,0,()(2)(),()eXXVxxVxxVxVxVx-二标量函数的正定性定义设在零平衡状态的邻域内对所有的状态有以下几种特征正定如果则标量函数为正定。负定若有正定则称负定二、标量函数的正定性定义：符号不定。称则也可为负既可为正有的状态对所有多小不论内的邻域在不定为负半定则称为正半定若有负半定为正半定。则称若有正半定)(,,)(,,,0)5(.)(,)()4()(,0,0)(,0,0)()3(xVxVXXxVxVxVxxVxxVe-2321232241321)()2(2)()1(xxX.)(:xxxVxxxxVxxVT已知的正定性确定下列标量函数例)(0,0)(0,0)(正半定xVxxVxxV0)(,0;0)(,0,)(:xVxxVxxV为正定解0)(0)(,0;0,0x0)(,0:321xVxVxxxVx其余解23221)((3)xxxxV正半定有对于其余的时又解)(0)(X,0,0)(0)(,0,0x0,0)(0)(,0213xVxVxxVxVxxxxVxVx-负半定则有对于其余的时解)(0,0)(0,0)(0)(x,0)(-2xx0,x0)(,0231xVxxVxxVxVxVxVx2322212321212)()5()2()()4(xxxxVxxxxxV---2221232221232()02()0()xxxVxxxxVxVx解不定正。的所有主子行列式均为即正定阵矩正定的充分必要条件是二次型一赛尔维斯特准则即为实对称矩阵其中单项式的纯量函数各项均为自变量的二次二次型则二次型及赛尔维斯特准三PPPXXxVPPPPPPPPPPPxPXTTjiijnnnnn,)(.1)(,,xxxxXV(x):.n12111211n21T三、二次型赛乐维斯特准则正定即负定矩阵负定的充分必要条件是二次型PPPXXxVpPPPPPPPPPPTnnnnn-,)(2.0002111211n222112112111征值。不足之处是需要计算特来确定的特征值可根据的正定性对称矩阵为此负半定及不定性较困难的正半定特别是性的正定来确定矩阵依据其主子行列式的值的所有主子行列式较多由于较高阶数的正半定即负半定是矩阵负半定的充分必要条件二次型的所有主子行列式非负即正半定是矩阵正半定的充分必要条件二次型,,,,,,,)(4.,)(3.PPPPPPPPXXxVPPPXXxVTT-有的为负正它的特征值有的为不定的充分必要条件是不大于零是它的特征值均为负半定的充分必要条件不小于零是它的特征值均为正半定的充分必要条件它的特征值均为负负定的充分必要条件是它的特征值均为正正定的充分必要条件是二,5..4..3..2...10)(PPPPPP-定理：323121232221242210xV(x).)(.1xxxxxxxxxV--的正定性确定二次型例01921110010xx11-2-1-212-110xx242210xV(x)21321321323121232221--xxxxxxxxxx解3101-212-150-2-11V(x)正定321321xx1-00020001xxxxxV解：的正定性。确定例2322212xV(x)2.xx-不定。定，故负，即符号不的特征值的符号有正有V(x)P1,2,10)1)(2)(1(10002-0001321-----P第三节李雅普诺夫第二法（直接法）李雅普诺夫稳定性主要理论：1：对于一个系统，若能构造出一个正定的标量函数V（x），并且它对时间的一阶导数是负定的，则系统在状态空间的原点处是渐近稳定的。2：对于一个系统，若V（x）在原点附近的邻域内是正定的，并且它对时间的一阶导数也是正定的，那么系统在原点处是不稳定的。定理一：设系统的动态方程为：原点为一个平衡状态，即：如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x，t），满足如下条件：（1）是正定的（2）是负定的则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的。如果当时，则系统是大范围一致渐近稳定的。),(txfx0),0(tf),(txV),(txVx),(txV稳定性。试分析其平衡状态时的已知例)()(:22212122221121xxxxXxxxxX---定。处为大范围内的渐近稳时又由于为负定为正定选取解出平衡状态令解0x,V(x),x)-2(x22(x)VV(x)0,00,t)f(x,X:222212211222121xxxxxxxxxX(0).,:.X(x)V,XV(x):函数是李氏函数故动稳定性函数能够确定系统的运预选的说明趋向原点的速度状态则表示随着时间的推移而到状态空间原点的距离表示系统状态其几何意义为VV且满足条件定理:),,(,(:2.正定),(.1txVt负半定.2(,)Vxt.3及任意对任意000),,,(tttxtV00x时不恒为零。在0ttV偏导数的标量函数如果存在一个具有一阶设系统的状态方程为),Xtxxf。其中)0),0(（tf0tt原点运动的。续向时间的推移它总是要继在切点上不动，而随着型轨迹便不可能停留时不恒等于零，所以典在和任意对任意然而，又由于相切，在切点上能与某个特定的曲面故典型轨迹可不是负定而是负半定，由于。解出发的系统状态方程的从初始状态时表示在。其中为大范围内的渐近稳定衡状态，状态空间原点处的平时，当平衡状态为渐近稳定，则在状态空间原