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新课标网(http://)---最专业的中小学教学资源共享平台http://欢迎您下载!AOxy2011届高三数学精品复习之直线及线性规划1.直线的倾斜角的范围:[0,),x轴及平行于x轴的直线倾斜角是0而不是;y轴及平行于y轴的直线的倾斜角为2而不是没有倾斜角(只是斜率不存在);已知斜率(的范围)会求倾斜角(的范围),记住:当倾斜角α是锐角时,斜率k与α同增同减,当α是钝角时,k与α也同增同减。斜率的求法:①依据直线方程②依据倾斜角③依据两点的坐标④方向向量(以a=(m,n)(m≠0)为方向向量的直线的斜率为mn)。关注斜率在求一类分式函数值域时的运用。[举例1]已知两点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线l的斜率为:.解析:记直线l的倾斜角为,则直线AB的倾斜角为2,其斜率tan2=4343tan1tan22tan=-3或tan=31而由tan2=430得2是锐角,则∈(0,4),∴tan=31。[举例2]函数CosSiny31的值域为。解析:记P(cos,sin),A(-3,1)则y=kPA,P点的轨迹是圆心为原点的单位圆,如右图:当直线PA与圆相切时,其斜率分别为0和43,[来源:Z+xx+k.Com]∴y=kPA∈[43,0]。注:这里存在一个kPA在0与43“之间”还是“之外”的问题,原则是其间是否有斜率不存在的情况,若有则在“之外”,若无则在“之间”。[巩固1]已知直线l:02cosyx则l倾斜角的范围是:。[巩固2]实数x,y满足24,012222xyyxyx则的取值范围为()A.),34[B.]34,0[C.]34,(D.)0,34[[迁移]点P是曲线323xxy上的动点,设点P处切线的倾斜角为,则的取值范围是A、2,0B、,432,0C、,43D、43,22.“点斜式”是直线方程的最基本形式,是其它各种形式的源头,但它不能表示斜率不存在的直线;解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”。“斜截式”最能体现直线的函数性质(一次函数,一次项系数是斜率),“斜截式”中所含的参数最少(2个,而其它各种形式中都是3个),所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式”,它也不能表示斜率不存在的直线。新课标网(http://)---最专业的中小学教学资源共享平台http://欢迎您下载!“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系;注意:截距是坐标而不是距离;在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1或过原点;“截距式”不能表示斜率为0、斜率不存在以及过原点的直线。“两点式”完全可以由“点斜式”替代,“两点式”不能表示斜率为0和斜率不存在的直线,但它的变形(“积式”):))(())((112112xxyyyyxx却能表示所有的直线。“一般式”能表示所有的直线,它是直线方程的“终极”形式。[举例]已知直线l:kx+y-k+2=0和两点A(3,0),B(0,1),下列命题正确的是[来源:学科网][来源:学_科_网Z_X_X_K](填上所有正确命题的序号)。①直线l对任意实数k恒过点P(1,-2);②方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P(1,-2)的直线;③当k=±1及k=2时直线l在坐标轴上的截距相等;④若1300yx,则直线)1)(2()2)(1(00xyyx与直线AB及直线l都有公共点;⑤使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是[-3,1];⑥使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是(,-3]∪[1,)。[来源:学&科&网Z&X&X&K]解析:①直线l:y+2=-k(x-1)恒过P(1,-2),②方程kx+y-k+2=0不能表示直线x=1,③当k=-1时直线l在坐标轴上的截距相反;④若1300yx,则点M(x0,y0)在直线AB上(截距式),又点P(1,-2)在直线l,而直线)1)(2()2)(1(00xyyx过点M,P(两点式),即与直线AB有公共点M,与直线l有公共点P;⑤⑥直线l与线段AB有公共点,不宜先解方程组再解不等式组(麻烦),数形结合易见,直线l应在直线PA到PB之间,而其间有斜率不存在的位置,故命题⑥正确。[来源:学|科|网][巩固]已知圆C:x2+(y-2)2=1,则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有条?[迁移]对任意实数m,直线(m+2)x-(2m-1)y-(3m-4)=0和椭圆1922myx恒有公共点,则m的取值范围是。[来源:Zxxk.Com]3.“到角”的范围:(0,),“到角公式”就是两角差的正切公式,多用于解决与角平分线有关的问题;“夹角”的范围:(0,2]。两直线1l:A1x+B1y+C1=0,2l:A2x+B2y+C2=0平行、垂直的条件有“比”和“积”两种形式(重合只有“比式”),如:1l⊥2lA1A2+B1B2=0,若1l、2l不重合,则1l∥2lA1B2=A2B1;判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及斜率为0的情形。[举例1]直线1l:x=1到直线2l:2x+y+1=0的角是:()新课标网(http://)---最专业的中小学教学资源共享平台http://欢迎您下载!A.arctan2,B.arctan21C.-arctan2D.arctan(-21)[来源:学*科*网]解析:记直线1l到2l的角为,直线2l的倾斜角为,作图可见=-2,tan=-cot=21,故选B。[举例2]①已知P(x0,y0)是直线l:f(x,y)=0外一点,则直线f(x,y)+f(x0,y0)=0与直线l的位置关系是;②设a、b、c分别是⊿ABC中角A、B、C的对边,则直线:0sincayAx与直线0sinsinCBybx的位置关系是。[来源:学科网ZXXK]解析:①方程f(x,y)=0与f(x,y)+f(x0,y0)=0两变量的系数完全相同,而f(x0,y0)≠0,即常数项不同,故平行;②由正弦定理知:0sinsinBaAb,故垂直。[巩固]已知直线l1的方程为y=x,直线l2的方程为y=ax+b(a,b为实数),当直线l1与l2夹角的范围为[0,12)时,a的取值范围是:A.(33,1)∪(1,3),B.(0,1),C.(33,3),D.(1,3)[迁移]直线012yax与直线0312byxa互相垂直,,,Rba则||ab的最小值是:A.1B.2C.4D.5()4.点到直线的距离公式在求三角形的面积、判断直线与圆的位置关系、求圆的弦长、解决与圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用,推导两平行线间的距离公式也是它的一个运用。[举例]已知5x+12y=60,则xy22的最小值是:A.6013B.135C.1312D.1解析:xy22表示直线l:5x+12y=60上的动点到原点的距离,其最小值即原点到直线l的距离,选A。注:此题若代入消元、配方求最值则很麻烦。[巩固]直线l过点(1,0),且被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9,则直线l的方程为。[迁移]若动点P(x,y)满足|x+2y-3|=22)2()1(yx,则P点的轨迹是:A.圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线[提高]若a、b、c为实数,恒存在实数x,y,使得ay-bx=c22)()(byax≠0,则a、b、c满足:A.c2≥a2+b2B.c2a2+b2C.c2a2+b2D.c2≤a2+b25.点M(m,n)关于直线y=±x+b的对称点M’(±nb,±m+b),即:将M点的坐标代入对称轴方程求得M/的坐标;但对称轴斜率不为±1时,只可根据中、垂建立方程组(即MM/与对称轴垂直且其中点在对称轴上),解出对称点坐标。光线反射问题、角平分线问题、到两定点距离之和(差)的最值问题等都与对称有关。[举例1]将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点A(0,2)与点B(4,0)重合,新课标网(http://)---最专业的中小学教学资源共享平台http://欢迎您下载!若此时点C(7,3)与点D(m,n)重合,则m+n的值是。解析:“折痕”是AB的中垂线l:y=2x-3,C(7,3)、D(m,n)关于l对称,则:21733723mnmn53153nmm+n=534。[举例2]在⊿ABC中,已知A(2,3),角B的平分线为Y轴,角C的平分线为l:x+y=4,求BC边所在的直线方程解析:由题意知直线BA、BC关于Y轴对称,即A关于Y轴的对称点A1(-2,3)在直线BC上;直线CA、CB关于l对称,即A关于l的对称点A2(1,2)在直线CB上;∴直线BC即直线A1A2:x+3y-7=0,[来源:学科网ZXXK][巩固]已知点A在x轴上,点B在直线l:y=x上,C(2,1),则⊿ABC的周长的最小值为。[迁移]已知点A(1、1),曲线C上的点(x、y)满足:ayaxsin27cos25,一束光线从点A出发经y轴反射到曲线C上的最短路程是:()A226B225C8D106.不等式ax+by+c0(a0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的右侧,不等式ax+by+c0(a0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的左侧;a﹤0时情况相反。也可以说:不等式ax+by+c0(b0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的上方,不等式ax+by+c0(b0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的下方;b﹤0时情况相反。目标函数z=mx+ny(m0)在“可行域”D内的最值:令mx+ny=0,在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最左侧,此时z取得最小值;位于最右侧,此时z取得最大值;m0时情况相反。如果z=mx+ny(n0),也可以说:在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最下方,此时z取得最小值;位于最上方,此时z取得最大值;n0时情况相反。若线性目标函数的最优解不止一个,则目标函数为0的直线与“可行域”的一个边界平行或重合。[举例]已知x,y满足约束条件:2x-y≥0,x+y-2≥0,6x+3y≤18,且z=ax+y(a0)取得最小值的最优解有无穷多个,求a的值。解析:要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个,令ax+y=0并平移使之与过点C(34,32)(可行域中最左侧的点)的边界重合即可,注意到a0,只能和AC重合,∴a=1[举例2]已知点P(3,-1)和Q(-1,2),直线l:ax+2y-1=0与线段PQ有公共点,则实数a的取值范围为:A.1≤a≤3B.a≤1或a≥3C.a≤1D.a≥3[来源:学科网]解析:本题可参照“3[举例]⑤⑥”的做法,确定直线l的斜率的范围。现在用不等式所表示的区域解决:直线l与线段PQ有公共点即点P、Q在直线l的两侧或在直线l上,记:新课标网(http://)---最专业的中小学教学资源共享平台http://欢迎您下载!f(x,y)=ax+2y-1,则f(3,-1)f(-1,2)≤0,解得:a≤1或a≥3,选B。“3[举例]⑤⑥”也可照此办理。[巩固1]已知x,y满足约束条件:2x-y≥0,x+y-2≥0,6x+3y≤18,且z=ax+y取得最大值的最优解恰为(23,3),则a的取值范围是。[巩固2]点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是。[迁移]双曲线x2-y2=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为2,则a+b的值是()A.-21B.21C.-21或21D
本文标题:2011届高三数学精品复习之(13)直线的方程两条直线的位置关系线性规划
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