121充分与必要条件

1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，并识记充分条件与必要条件的概念，初步掌握判定的方法.【知识链接】1.命题的结构：命题的一般结构为“若p，则q”，其中p为条件，q为结论.2.命题真假的判断方法：直接利用相关数学知识推理判断，或转化为逆否命题判断.主题：充分条件和必要条件【自主认知】1.判断下列两个命题的真假，若为真命题，说明条件和结论有什么关系？(1)若xa2+b2，则x2ab.(2)若ab=0，则a=0.提示：(1)为真命题，(2)为假命题，(1)为真命题说明：由条件xa2+b2，通过推理可以得出结论x2ab.2.以上条件和结论的关系是否对任意一个“若p，则q”的命题都成立？提示：都成立.➡根据以上探究过程，试着写出充分条件与必要条件的概念：一般地，__________________________________________________________________________________并且说p是q的_________，q是p的_________.“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时我们就说p可推出q；记作p⇒q，充分条件必要条件【合作探究】1.若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？提示：不唯一.例如“x1”是“x0”的充分条件，p可以是“x2”“x3”或“2x3”等.2.“若﹁p，则﹁q”为真命题，则p是q的什么条件？提示：若﹁p，则﹁q为真命题，等价于若q，则p为真命题，即q⇒p，故p是q的必要条件.【过关小练】1.下列所给的p，q中，p是q的充分条件的个数是()①p：x1，q：-3x-3；②p：x1，q：2-2x2；③p：x=3，q：sinxcosx；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①由于p：x1⇒q：-3x-3，所以p是q的充分条件；②由于p：x1⇒q：2-2x2(即x0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x=3⇒q：sinxcosx，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件.2.设x∈R，则x2的一个必要条件是()A.x1B.x1C.x3D.x3【解析】选A.因为由x2⇒x1，所以x1是x2的一个必要条件.【归纳总结】1.充分条件概念的两个关注点(1)“p是q的充分条件”的等价说法有：①“若p，则q”为真命题；②p⇒q；③q的充分条件是p.(2)p是q的充分条件的理解：“有p，q必成立，无p，q未必不成立”.2.必要条件概念的两个关注点(1)“p是q的必要条件”的等价说法：①“若q，则p”为真；②q⇒p；③q的必要条件是p.(2)p是q的必要条件的理解：“有p，q未必成立，无p，q必不成立”.【拓展延伸】借助电路图来理解充分条件和必要条件(1)如图1所示，当开关A闭合时，灯泡B一定亮，但是当开关A不闭合时，灯泡B不一定不亮；当灯泡B亮时，开关A不一定是闭合的；所以只要开关A是闭合的，灯泡B一定亮，我们称开关A闭合是灯泡B亮的充分条件.(2)如图2所示，当开关A闭合时，灯泡B不一定亮，但是当开关A不闭合时，灯泡B一定不亮；当灯泡B亮时，可以知道开关A一定是闭合的；所以要使灯泡B亮，开关A必须是闭合的，我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件.类型一：充分条件与必要条件的判断【典例1】(1)(2015·杭州高二检测)在等比数列{an}中，“a1a3”是“anan+1”的__________条件(从“充分”“必要”中选择一个正确的填写).(2)(2015·洛阳高二检测)下列式子：①a0b；②ba0；③b0a；④0ba.其中能使成立的充分条件有________.(只填序号)11ab【解题指南】(1)看由“a1a3”能否推出“anan+1”，由“anan+1”能否推出“a1a3”，然后下结论.(2)看①，②，③，④这几个条件能否推出命题成立.11ab【解析】(1)如an=(-3)n-1，a1=(-3)0=1，a3=(-3)2=9，满足a1a3，但数列{an}是摆动数列，不是递增数列，所以，a1a3anan+1；反之，若anan+1，则数列{an}是递增数列，则有a1a2a3，故有a1a3，因此“a1a3”是“anan+1”的必要条件.答案：必要(2)当a0b时，当ba0，当b0a时，当0ba时，所以能使成立的充分条件有①②④.答案：①②④110ab；110ab；110ba；110.ab11ab【延伸探究】1.(改变问法)本例(1)中条件不变，判断“anan+1”是“a1a3”的什么条件.【解析】由(1)解析知，“anan+1”是“a1a3”的充分条件.2.(变换条件)若把本例(1)中“a1a3”改为“a1a2”，其他条件不变，则结果如何？【解析】如an=(-1)n，a1=-1，a2=1，满足a1a2，但{an}不是递增数列，反之若anan+1，则有a1a2，因此“a1a2”是“anan+1”的必要条件.【规律总结】1.充分条件的两种判断方法2.必要条件的两种判断方法(1)命题的真假判断：“若q，则p”为真命题时，则p是q的必要条件，“若q，则p”为假命题时，则p不是q的必要条件.(2)根据充分条件判断出必要条件：若q⇒p，则p是q的必要条件；若qp，则p不是q的必要条件.而要判断p成立的必要条件是q，只需判断由p是否能推出q，即p⇒q是否成立.【补偿训练】“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3”是“”的_______(填“充分条件”或“必要条件”).【解析】若方程的两根都大于3，即x1＞3，x2＞3，可得成立，故“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠０)的两根都大于３”是“”的充分条件.答案：充分条件12120xx6xx9，＞，＞12120,xx6,xx9＞＞12120,xx6,xx9＞＞类型二：充分条件与必要条件的应用【典例2】(1)(2015·济南高二检测)已知“p：(x-m)23(x-m)”是“q：x2+3x-40”的必要条件，则实数m的取值范围为__________.(2)(2015·广州高二检测)是否存在实数p，使“4x+p0”是“x2-x-20”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.【解题指南】(1)将两个命题化简，根据p是q的必要条件转化为两个集合间的关系，进而构建不等式(组)求解.(2)假设存在，将两个命题的关系转化为两个集合的包含关系，进而构建不等式(组)求解.【解析】(1)由p：(x-m)23(x-m)，得p：xm+3或xm，令A={x|xm+3或xm}，q：-4x1，令B={x|-4x1}，因为p是q的必要条件，所以B⊆A，因此有m+3≤-4或m≥1.解得m的取值范围为(-∞，-7]∪[1，+∞)答案：(-∞，-7]∪[1，+∞)(2)假设存在，由x2-x-2＞0，解得x＞2或x＜-1.令A={x|x＞2或x＜-1},由4x+p＜0，得令由题意得B⊆A，即即p≥4,此时x＜≤-1⇒x2-x-2＞0,所以当p≥4时，“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的充分条件，所以存在实数p，其范围为［4，+∞).px,4pB{x|x}.4＜p14，p4【规律总结】1.应用充分条件和必要条件的两个思路(1)确定条件与结论：确定p和q谁是条件，谁是结论.(2)“⇒”符号的应用：若p⇒q，则p是q成立的充分条件；若q⇒p，则p是q成立的必要条件.提醒：应用充分条件和必要条件，主要看能否得到p⇒q和q⇒p.2.集合法判断充分条件和必要条件设集合A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A⊈B，则p不是q的充分条件.(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B⊈A，则p不是q的必要条件.【拓展延伸】充分条件和必要条件的本质区别p是q的充分条件的含义是：要使q成立，只要满足条件p就行；p是q的必要条件的含义是：要使q成立，必须满足条件p才行.【巩固训练】(2015·长河高二检测)已知p：3x+m0，q：x2-2x-30，若p是q的一个充分条件，求m的取值范围.【解析】由3x+m0得，令由x2-2x-30得，x-1或x3.令B={x|x-1或x3}.因为p⇒q，所以A⊆B，所以所以m≥3，即m的取值范围是[3，+∞).mx.3＜mA{x|x}.3＜m1,3【补偿训练】已知条件p：|5x-1|＞a(a＞0)和条件q：若p是q的充分条件，则a的取值范围为_______.【解析】p：因为p是q的充分条件，所以所以a≥4.答案：［4，+∞)210.2x3x1＞1a1a1xx.qx1x.552＞或＜：＞或＜1aa41531a1a.252，即，