2010届高三数学一轮复习强化训练精品空间点直线平面之间的位置关系

taoti.tl100.com你的首选资源互助社区2010届高三数学一轮复习强化训练精品――空间点、直线、平面之间的位置关系1.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是.答案42.对于平面和直线l，内至少有一条直线与直线l（用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.答案垂直3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分.答案74.（2007·广东理，12）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=;f(n)=.（答案用数字或n的解析式表示）答案2)1(nn8n(n-2)5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为.答案60°基础自测taoti.tl100.com你的首选资源互助社区例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH∶HD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点.(1)解∵EBAE=FBCF=2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴HDAH=GDCG=3,即AH∶HD=3∶1.（2）证明∵EF∥GH,且ACEF=31，ACGH=41，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，P∈FG，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.例2如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解（1）不是异面直线.理由如下：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点.∴MN∥A1C1，又∵A1AD1D，而D1DC1C，∴A1AC1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形.∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC平面CC1D1，这与正方体ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾.∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.例3（16分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.（1）求四棱锥的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解（1）在四棱锥P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO=60°，2分在Rt△POB中，∵BO=AB·sin30°=1，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=3,∵底面菱形的面积S=2×21×2×2×23=23.∴四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD=31×23×3=2.8分（2）取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA，∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.10分在Rt△AOB中，AO=AB·cos30°=3=OP，∴在Rt△POA中，PA=6，∴EF=26.12分在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=3，由余弦定理得∴cos∠DEF=EFDEDFEFDE222214分=2632)3()26()3(222=2346=42.所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为42.16分1.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线.证明∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH平面ABD.∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD，∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，所以B、D、O三点共线.2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG平面ABCD且直线FG∥直线A1B1.证明由已知得E是CD的中点，在正方体中，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区由于A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，所以AE平面ABCD.又AE∩BC=F，从而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG平面ABCD.因为EC21AB，故在Rt△FBA中，CF=BC，同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CFDG，所以四边形CFGD是平行四边形，所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直线FG∥直线A1B1.3.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.在Rt△EAB中，AB=AC=1，AE=21AD=21，∴BE=25，在Rt△EAF中，AF=21AC=21，AE=21，∴EF=22，在Rt△BAF中，AB=1，AF=21，∴BF=25，在等腰三角形EBF中，cos∠FEB=254221BEEF=1010，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.一、填空题1.若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是.答案平行、相交或异面2.给出下列命题：①若平面内的直线a与平面内的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区答案③3.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a,则c与b的位置关系.①一定是异面直线②一定是相交直线③不可能是平行直线④不可能是相交直线答案③4.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有（填序号）.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案①③④5.（2008·辽宁文）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有条.答案无数6.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.答案547.如图所示，在三棱锥C—ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是.答案30°8.已知a、b为不垂直的异面直线,是一个平面，则a、b在上的射影可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.答案①②④二、解答题9.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.求证：（1）E，C，D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点.证明（1）如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E、F分别是AB和AA1的中点，∴EF∥A1B且EF=21A1B，又∵A1D1BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF与CD1确定一个平面，∴E，F，C，D1∈，即E，C，D1，F四点共面.（2）由（1）知EF∥CD1，且EF=21CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，设交点为P，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区则P∈CE平面ABCD，且P∈D1F平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1=AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点.10.定线段AB所在的直线与定平面相交，P为直线AB外的一点，且P不在内，若直线AP、BP与分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点.证明设定线段AB所在直线为l,与平面交于O点，即l∩=O.由题意可知，AP∩=C，BP∩=D，∴C∈，D∈.又∵AP∩BP=P,∴AP、BP可确定一平面且C∈，D∈.∴CD=∩.∵A∈，B∈,∴l,∴O∈.∴O∈∩，即O∈CD.∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点.11.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为CC1、AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.解在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA.又∵FD1平面BED1F，AD平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所示.12.如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，EDAE=FCBF=21，AB=CD=3，EF=7，求AB、CD所成角的大小.解如图所示，在线段BD上取一点G，使GDGB=21.连接GF、GE、EF.EDAE=GDBG=FCBF=21，GE∥AB，且GE=32AB=2，同理，GF∥CD，且GF=31CD=1，在△EGF中，cos∠EGF=12271222=-21,∴∠EGF=120°.由GF∥CD,GE∥AB可知,AB与CD所成的角应是∠EGF的补角为60°.