山东省春季高考数学基础知识点

第1页共17页中职数学基础知识汇总预备知识：1.完全平方和（差）公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b22.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)3.立方和（差）公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)第一章集合1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。3.常用数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N+（正整数集）4.元素与集合、集合与集合之间的关系：（1）元素与集合是“”与“”的关系。（2）集合与集合是“Í”“”“=”“Í/”的关系。注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑Ф是否满足题意）（2）一个集合含有n个元素，则它的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1）{|}ABxxAxB=挝且：A与B的公共元素组成的集合（2）{|}ABxxAxB=挝或：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。（3）ACU：U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。注：()UUUCABCACB()UUUCABCACB=6.会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。7.充分必要条件:p是q的……条件p是条件，q是结论如果pq，那么p是q的充分条件;q是p的必要条件.如果pq，那么p是q的充要条件第二章不等式1.不等式的基本性质：（略）注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。2.重要的不等式：（1）abba222，当且仅当ba时，等号成立。（2）),(2Rbaabba，当且仅当ba时，等号成立。（3）注：2ba（算术平均数）ab（几何平均数）3.一元一次不等式的解法（略）4.一元二次不等式的解法（1）保证二次项系数为正（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：第2页共17页（3）定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。5.绝对值不等式的解法若0a，则axaxaxaxaax或||||分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.第三章函数1.函数（1）定义：设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对A内任一个元素x,在B中总有一个且只有一个值y与它对应,则称f是集合A到B的函数,可记为:f:A→B,或f:x→y.其中A叫做函数f的定义域.函数f在ax的函数值,记作)(af,函数值的全体构成的集合C(C⊆B),叫做函数的值域.（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则（1）定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x的取值范围主要依据：分母不能为0，偶次根式的被开方式0，特殊函数定义域：0,0xxyRxaaayx),10(,且0),10(,logxaaxya且（2）值域的求法：y的取值范围①正比例函数：kxy和一次函数：bkxy的值域为R②二次函数：cbxaxy2的值域求法：配方法。如果x的取值范围不是R则还需画图像③反比例函数：xy1的值域为}0|{yy④另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。（3）解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。3.函数图像的变换（1）平移)()(axfyaxfy个单位向左平移)()(axfyaxfy个单位向右平移axfyaxfy)()(个单位向上平移axfyaxfy)()(个单位向下平移（2）翻折)()(xfyxxfy上、下对折轴沿|)(|)(xfyxxfy下方翻折到上方轴上方图像保留第3页共17页4.函数的奇偶性（1）定义域关于原点对称（2）若)()(xfxf奇若)()(xfxf偶注：①若奇函数在0x处有意义，则0)0(f②常值函数axf)(（0a）为偶函数③0)(xf既是奇函数又是偶函数5.函数的单调性对于],[21baxx、且21xx，若上为减函数在称上为增函数在称],[)(),()(],[)(),()(2121baxfxfxfbaxfxfxf增函数：x值越大，函数值越大；x值越小，函数值越小。减函数：x值越大，函数值反而越小；x值越小，函数值反而越大。6.二次函数（1）二次函数的三种解析式①一般式：cbxaxxf2)(（0a）②顶点式：hkxaxf2)()(（0a），其中),(hk为顶点③两根式：))(()(21xxxxaxf（0a），其中21xx、是0)(xf的两根（2）图像与性质二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：①开口0a开口向上0a开口向下②对称轴：abx2顶点坐标：)44,2(2abacab③与x轴的交点：无交点交点有有两交点0100④根与系数的关系：（韦达定理）acxxabxx2121⑤cbxaxxf2)(为偶函数的充要条件为0b⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0）0)(xf轴上方图像位于xa00轴下方图像位于xaxf000)(⑦若二次函数对任意x都有)()(xtfxtf，则其对称轴是tx。第四章指数函数与对数函数1.指数幂的性质与运算第4页共17页（1）根式的性质：①n为任意正整数，nna)(a②当n为奇数时，aann；当n为偶数时，||aann③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。（2）零次幂：10a)0(a（3）负数指数幂：nnaa1),0(*Nna（4）分数指数幂：nmnmaa)1,,0(nNnma且（5）实数指数幂的运算法则：),,0(Rnma①nmnmaaa②mnnmaa)(③nnnbaba)(2.幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n次方。3.幂函数）上单调递减，在（时，当）上单调递增，在（时，当0000aaaxyaxyaxy4.指数与对数的互化：bNNaablog)10(aa且、)0(N5.对数基本性质：①1logaa②01loga③NaNalog④NaNalog⑤互为倒数与abbaloglogababbabalog1log1loglog⑥bmnbanamloglog6.对数的基本运算：NMNMaaaloglog)(logNMNMaaalogloglog7.换底公式：aNNbbalogloglog)10(bb且8.指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数定义)1,0(的常数aaayx)1,0(log的常数aaxya图像第5页共17页性质(1)0,yRx(2)图像经过)1,0(点（3）上为减函数。在上为增函数；在RayaRayaxx,10,1(1)Ryx,0(2)图像经过)0,1(点（3）上为减函数在上为增函数；在),0(log,10),0(log,1xyaxyaaa9.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值0，1来过渡。10.指数方程和对数方程：指数式和对数式互化同底法换元法④取对数法注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章数列等差数列等比数列定义每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数12aadaaaann123qaaaaaann12312)0(q注：当公差0d时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为0；当公比为1时，数列为常数列通项公式dnaan)1(111nnqaa推论（1）mnaadmn（2）dmnaamn)(（3）若qpnm，则qpnmaaaa（1）mnmnaaq（2）mnmnqaa（3）若qpnm，则qpnmaaaa中项公式三个数cba、、成等差数列，则有22cabcab三个数cba、、成等比数列，则有acb2前n项和公式dnnnaaanSnn2)1(2)(11qqaaqqaSnnn11)1(11（1q）1.已知前n项和nS的解析式，求通项na11nnnSSSa)2()1(nn2.弄懂等差、等比数通项公式和前n项和公式的证明方法。（见教材）第六章三角函数1.弧度和角度的互换第6页共17页o180弧度1801o弧度01745.0弧度1弧度'1857)180(oo2.扇形弧长公式和面积公式r||扇L2||2121rLrS扇（记忆法：与ahSABC21类似）3.任意三角函数的定义：斜边对边sin=ry斜边邻边cos=rx邻边对边tan=xy4.特殊三角函数值0000306045406030902sin2021222324cos2423222120tan03313不存在5.三角函数的符号判定（1）口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）（2）图像记忆法6.三角函数基本公式cossintan（可用于化简、证明等）1cossin22（可用于已知sin求cos；或者反过来运用）7.诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。解释：指)(2Zkk，若k为奇数，则函数名要改变，若k为偶数函数名不变。7.已知三角函数值求角:(1)确定角所在的象限;(2)求出函数值的绝对值对应的锐角';(3)写出满足条件的2~0的角;(4)加上周期（同终边的角的集合）8.和角、倍角公式⑴和角公式：sincoscossin)sin(注意正负号相同sinsincoscos)cos(注意正负号相反tantan1tantan)tan(⑵二倍角公式：cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos第7页共17页2tan1tan22tan⑶半角公式：2cos12sin2cos12cos9.三角函数的图像与性质函数图像性质定义域值域同期奇偶性单调性xysinRx]1,1[2T奇]22,22[kk]232,22[kkxycosRx]1,1[2T偶]2,2[kk]2,2[kk9.正弦型函数)sin(xAy)0,0(A(1)定义域R，值域],[AA（2）周期：2T（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x的系数提出来，再看是怎样平移的。（4）xbxaycossin)sin(22xba10.正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为ABC的外接圆半径）其他形式：（1）ARasin2BRbsin2CRcsin2（注意理解记忆，可只记一个）（2）CBAcbasin:sin:sin::11.余弦定理Abccbacos2222bcacbA2cos222（注意理解记忆，可只记一个）12.三角形面积公式BacAbcCabSABCsin21sin21sin21（注意理解记忆，可只记一个）第8页共17页13.海伦公式：))()((cPbPaPPSABC