2006年7月真题详解

全国2006年7月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．函数y=ln(22x1x1)的定义域是（）A．|x|≤1B．|x|1C．0|x|≤1D．0|x|1知识点：函数的定义域22221011100110Cxxxxxx解：答案选2．设△y=f(x0+△x)-f(x0)且函数f(x)在x=x0处可导，则必有（）A．0xlim△y=0B．△y=0C．dy=0D．△y=dy知识点：导数与连续000000()()limlim()()0Axxfxxxfxxxyfxxfx解：由在点可导，则在点连续答案选3．0xlimx2sin2x1=（）A．0B．1C．-1D．不存在知识点：函数的极限222222010sin11sinlimsin0Axxxxxxxx解：当时，为无穷小量，为有界变量所以为无穷小量，答案选4．设Cedx)x(xf2x,则f(x)=（）A．2xxeB．-2xxeC．2xe2D．-2xe2知识点：不定积分的导数2222()(())()()2()2DxxxxxfxdxeCxfxdxeCxfxxefxe解：答案选5．设产品的利润函数为L（x）,则生产xo个单位时的边际利润为（）A．00x)x(LB．dx)x(dLC．0xxdx)x(dLD．)dx)x(L(dxd知识点：边际函数00()()()CxxdLxLxdxdLxxdx解：利润函数为,则边际利润函数为生产单位时的边际利润答案选二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.知识点：反函数-1111ln(2)-1ln(2)222yyxyxyxexxeye解：所以反函数为7.设xn=)!1n(n!32!21,则nnxlim=_______.知识点：数列的极限122131112!3!(1)!2!3!(1)!1111111()()11!2!!2!3!(1)!(1)!11limlim(1)1lim1(1)!(1)!nnnnnnnxnnnnnxnn解：8.xarctanlimxx_______.知识点：极限arctan22x，是有界量arctanlim0xxx　　　　　9.设f(x)=1|x|,01|x|,x12,则f(1)=_____.知识点：单侧导数211(1)(1)22xxfxx解：10.设y=cos2x1，则y=_____.知识点：复合函数求导22222222sin1(cos1)sin1(1)sin1211xxxyxxxxxx解：11.曲线y=xe-x的拐点是_____.知识点：曲线的拐点22(1)(1)(2)022(2)2(2,)xxxxxxyexexeyexexexyee解：所以，拐点为12.已知某产品的产量为g时，总成本是C(g)=9+800g2，则生产100件产品时的边际成本MC|g=100=_____.知识点：边际函数g=100dCgMCdg4001001MC4004解：13.dxx1x62______.知识点：不定积分233632111:arctan131()3xdxdxxCxx解14.设z=2cosxy,则dz=_____.知识点：全微分2222222cos2cossin:()coscos()2cossincoscos(2sincos)xxyyxyxxxzyyxxzyyxxxxdzzdxzdydxdyyxdxxdyyyy解15.微分方程（xlnx）y=y的通解是____.知识点：可分离变量微分方程的求解11(ln)lnlnlnlnln,CxxyydydxyxxyxCyCxCe解：其中三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16．求极限x0lncotlim.lnxx知识点：洛必达法则2x0x0x0x0x01csclncotcotlimlimlim()1lnsincos1lim()lim()1coscosxxxxxxxxxxxx解：17．设y=arctanex-ln.y,e1ex2x求知识点：复合函数求导222222221(arctanlnln(1))21211112111xxxxxxxxxxxxxyeeeeeeeeeeeee解：18.求不定积分.dxxx222知识点：不定积分22222222sin,,22cos,2cos22cos2coscot2sin2(csc1)cottarcsin2xtxtdxtdtxtdxtdttdtxtxxtdttCCx解：令则19.计算定积分.x1dx132知识点：定积分222333321244434tan,,1+sec,sec,1343secsinsecsec1sin1lnsecxtanxln23ln21ln(23)ln(21)xtxtdxtdtxtxtdxtdtdttdtttx解：令则当时，当时，20．设z=x2arctan2arctan,.yxzyxyx求知识点：偏导数222222322221:2arctan1()1()2arctan2arctanyzyyxxxyyxxxxyyxyyxxxyxyyxyx解四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．设y=.y,1|x|,x1x1ln21x1xarcsin2求知识点：复合函数求导222323arcsin11(ln(1)ln(1))22112arcsin1112(1)2(1)2(1)arcsin(1)xyxxxxxxxxxxxx解：22.计算定积分20sinxxdx知识点：定积分200002200002201cos211sincos22221111xsin2(sin2sin2dx)4444111cos2x484xxxdxxdxxdxxxdxxdxxxx解：23．设D是xoy平面上由曲线y=x2，直线y=x和x=2所围成的区域，求.dxdyeDxy知识点：二重积分222211222211322xyyyxxxxxDxxxxedxdydxedyxedxexeedxxeexee　　　　　　　　　　　　　　2211112211211223282xyyyxxxxxDxxxxedxdydxedyxedxeexeedxxxeee　　　　　　　　　　　　　　五、应用题（本大题共1小题，每小题9分，共9分）24．设生产某种产品x（百台）时的边际成本4x4)x(C（万元/百台），边际收益x8)x(R（万元/百台），试求：（1）产量由1百台增加到5百台时的总成本与总收入各增加多少？（2）产量为多大时，利润最大？知识点：边际函数52551115255111251:(1)()(4)(4)20(4)194888251()(8)(8)40(8)2022219,20(2)()()16483.245320xxCCxdxdxxxRRxdxxdxxCxRxxxx解所以总成本增加万元总利润增加万元。利润最大时，即，所以当产量为台时，利润最大。六、证明题（本大题共1小题，每小题5分，共5分）25．证明：当x0时，xln(.1x1)x1x22知识点：函数的单调性222222222222()ln(1)112121'()ln(1)11ln(1)11ln(1)011'()ln(1)0fxxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxxx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　故当0x时()fx单调递增，则()(0),fxf即22ln(1)11xxxx