2007年GCT入学资格考试数学基础能力试题

2007年GCT入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）1．22222222201234567124567891022222222的值是（）。A．1151B．2251C．2251D．11512．集合0123，，，的子集的个数为（）。A．18B．16C．15D．143．方程220xyxy的解为（）。A．02xyB．31xyC．42xyD．23xy4．图中，大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形其中位于角上的3个小长方形的面积已经标出，则角上第4个小长方形的面积等于（）。A．22B．20C．18D．11.255．一个直圆柱形状的量杯中放有一根长为12cm的细搅棒（搅棒直径不计），当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯中边缘2cm，最多能露出4cm，则这个量杯的容积为（）cm3。A．72B．96C．288D．3846．甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A区到B区，甲需用30min，乙需用40min。如果乙比甲早出发5min去B区，则甲出发后经（）min可以追上乙。A．25B．20C．15D．107．如图，∠BAF∠FEB∠EBC∠ECD90°，∠ABF30°，∠BFE45°，∠BCE60°且AB2CD，则tan∠CDE（）。A．423B．328C．863D．5268．复数zii2i3i4i5i6i7，则zi（）。A．1B．2C．3D．29．有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率分别是0.95和0.92，则在紧急情况出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是（）。A．0.920B．0.935C．0.950D．0.99610．两个不等的实数a与b，均满足方程x23x1，则22baab的值等于（）。A．18B．18C．36D．36915?12915?1230°45°60°CBEDAF30°45°60°CBEDAF11．48支足球队，等分为8组进行初赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数为（）。A．288B．240C．120D．4812．当x1或x2时，211232xmnxxxx恒成立，则（）。A．m2，n3B．m3，n2C．m2，n3D．m3，n213．对任意两个实数a，b，定义两种运算：aababbab,如果≥,如果和bababaab,如果≥,如果算式（57）5和算式（57）7分别等于（）。A．5和5B．5和7C．7和7D．7和514．△ABC中，∠A:∠B:∠C3:2:7，如果从AB上的一点D做射线l，交AC或BC边于E点，使∠ADE60°，且l分△ABC所成两部分图形的面积相等，那么（）。A．l过C点（即E点与C重合）B．l不过C点而与AC相交C．l不过C点而与BC相交D．l不存在15．在圆2268210xyxy所围区域（含边界）中，P（x，y）和Q（x，y）是使得yx分别取得最大值和最小值的点，线段PQ的长是（）。A．2215B．2235C．4215D．423516．设y1lntanln22x，则y'（）。A．1B．1C．2416D．281617．若1lim4xfx（），则必定（）。A．f（1）4B．f（x）在x1处无定义C．在x1的某邻域（x1）中，f（x）2D．在x1的某邻域（x1）中，f（x）418．下图中的三条曲线分别是：①f（x），②1dxxftt（），③31d3xxftt（）的图形，按此排序，它们与图中所标示1yx（），2yx（），3yx（）的对应关系是（）。A．123yxyxyx（）,（）,（）B．132yxyxyx（）,（）,（）C．312yxyxyx（）,（）,（）D．321yxyxyx（）,（）,（）19．设函数f（x）可导，且f（0）1，f（lnx）x，则f（1）（）。A．2e1B．1e1C．1e1D．e120．曲线1yxx上的点与单位圆221xy上的点之间的最短距离为d，则（）。A．d1B．d（0，1）C．2dD．12d（，）21．若函数233011d00xtetxfxxax（），（），在x0点连续，则a（）。A．9B．3C．0D．122．A是A110011101的伴随矩阵。若三阶矩阵X满足AXA，则X的第3行的行向量是（）。A．（211）B．（121）C．11122D．1112223．行列式101011110101xxxx展开式中的常数项为（）。A．4B．2C．1D．024．1与1是矩阵A3121413tt的特征值，则当t（）时，矩阵A可对角化。A．2B．1C．0D．125．设A21101111，b（11）T，则当（）时，方程组AXb无解。A．1B．2C．1D．2y2（x）y1y54321O1234y3（x）（x）x654321y=y1（x）y=y2（x）y=y3（x）y2（x）y1y54321O1234y3（x）y3（x）（x）x654321y=y1（x）y=y2（x）y=y3（x）Oyy=x+x2+y2=1y=x+1x1xOyy=x+x2+y2=1y=x+1x1x2007年GCT入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析1．【答案】D【解析】分子为22222222221123456789103711151952(319)55；分母是一个首项为20=1，公比为2的等比数列，求和得：81(12)22512。题中原等式=551125551，故应选D。2．【答案】B【解析】总的组合数为42222216，也即子集数为16个。都出现即为该集合本身，都不出现即为空集。故正确答案为B。3．【答案】C【解析】2020xyxy≥,≥；又22=0xyxy，则有2020xyxy，解得42xy，故应选C。4．【答案】B【解析】上下对应的长方形底边相等，左右对应的长方形侧边相等。则上下或左右长方形面积比相等。即91512x或91215x（x为第4个小长方形的面积），得到x=20，故应选B。5．【答案】A【解析】h=124=8cm，l=122=10cm，则量杯的底面圆直径2226rlhcm，即r=3cm。量杯的体积为：223872rh，故应选A。6．【答案】C【解析】因为s=vt，所以vtvt甲乙乙甲（当s不变时）。从A区到B区，甲需用30min，乙需用40min，则/40/30=4/3vv乙甲。乙比甲早出发5min去B区，设甲出发经t分钟可以追上乙，因路程相同，5/4/3tvvt乙甲，则t=15，故应选C。7．【答案】A【解析】在Rt△ABF中，AB=2CD且ABF=30°，则243coscos303ABCDBFCDABFﾟ∠；又在Rt△EBF中，BFE=45°，26sin3BEBFBFECD∠；在Rt△BEC中，BCE=60°，42sin603BECECDﾟ；在Rt△CDE中，42423tan3CDECCDECDCD∠，故应选A。8．【答案】B412h2l2r412h2l2r【解析】复数z=i+i2+i2i+i2i2+i2i2i+i2i2i2+i2i2i2i=i1i+1+i1i=1，则1zii22(1)12，故应选B。9．【答案】D【解析】设事件A为“其中一个报警器发出信号”，事件B为“另一个报警器发出信号”，则P(A)=0.95，P(B)=0.92。事件A、B至少有一个发生的对立事件为两个均不发生，此事件的概率为：1[1P(A)][1P(B)]=1(10.95)(10.92)=0.996。故应选D。10．【答案】D【解析】a、b是方程x23x+1=0的两个不等实根，由韦达定理得31abab。因22332222()[]()[()3]3[33(1)]361baababaabbababababababab，故应选D。本题不必求出a，b，直接利用根与系数的关系更为简便易行。11．【答案】C【解析】48支足球队，等分为8组，则每组6支足球队。每组内部的比赛场次可用下述两种方法计算，一是先拿出1支球队，剩下的5支球队要与它比赛，共有5场；再选出1支，剩下的4支球队要与它比赛，共有4场，依此类推，总共场数为5+4+3+2+1=15；二是排列组合方法选择，共有组合222642CCC种，并要不考虑选择的顺序，除以排列数33A，即22233642CCCA/=15。每组要比15场，共有8组，则初赛的场次共有815=120场，故应选C。12．【答案】A【解析】当x1和x2时，21(2)(1)12(1)(2)32xmnmxnxxxxxxx2()(2)32mnxmnxx恒成立，即对应系数相等，即121mnmn，解得23mn，故应选A。13．【答案】B【解析】ab的结果是a与b中的较大者，ab的结果则取较小者，则算式（57）5=5，（57）7=7，故应选B。14．【答案】B【解析】在△ABC中，A:B:C=3:2:7且A+B+C=180°，故有A=3327180°=45°，B=2327180°=30°，C=7327180°=105°。考虑临界位置，即C与E重合，此时由于ADE=60°，则ACD=75°，DCB=30°，且得到DC=DB。在△ACD中，因为75°45°，所以ADDC=DB。S△BCD=12BDsin30BCABBC°1sin302S△ABC。又因ADE=60°恒成立，欲使DE分△ABC为面积相等的两块，DE应向左下方平移，即射线l不过C点而与AC相交，故应选B。BDAC（E）30°C（E）30°75°45°60°BDAC（E）30°C（E）30°75°45°60°15．【答案】C【解析】圆的方程可化为：222342xy（）（），即圆心为O'（3，4），半径为2，整个圆处于第一象限。直线y=kx与圆相切时，yx取得最大值和最小值，如右图所示，上下切点即为P和Q。连接O'P，O'Q，PQ和OO'。根据圆的切线的性质，O'P=O'Q=2，OPO'=OQO'=90°，则△OPO'△OQO'，OO'平分PO'Q，OO'PQ且平分PQ于M。长度OO'=2234=5。则在Rt△OO'Q中，OQ=225221，sinOO'Q215。在Rt△O'MQ中，1sin2'MQPQOQOO'Q21221255，PQ=221421255，故应选C。16．【答案】A【解析】1lntanln22xy（）-，则211[lntanln]tansec22222tantan22xxxyxx（）-（）2sec22tan2xx。2sec2412212tan4y，故应选A。17．【答案】C【解析】某一点的极限与该点有无函数无关，因此可排除A、B两项；f（x）4也满足题意，故可排除D。对于C选项，因1lim4xfx（），则1lim[2]4220xfx（），故有在x1的某邻域（x1）中，f（x）20即f（x）2，故应选C。18．【答案】D【解析】1dxxftt（）与31d3xxftt（）分别为函