2007年宁波市东海杯初二数学竞赛试卷第2试(含详细答案和评分标准)

2007年宁波市东海杯初二数学竞赛试卷第2试(考试时间：2007年12月16日9：30—11：3O)一、选择题:(每题6分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的)1．已知长度为l0cm的线段AB，以AB为直径向上作半圆，记该半圆的周长为C1；将AB两等分，分别以其一半线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C2；再将AB三等分，分别以其三分之一线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C3；如此继续，记k等分时各半圆周长之和为Ck，那么随着等分数k的增加，各半圆周长之和Ck的数值()A．越来越大B．越来越小C．不变D．无法判断2．桌上放着6张扑克牌，全部正面朝下。你已被告知其中有两张且只有两张是老K，但是你不知道老K在哪个位置。你随便取了两张并把它们翻开，会出现下面两种情况：(1)两张牌中至少有l张是老K；(2)两张牌中没有l张是老K。比较这两种情况的可能性，可知()A．(1)的可能性大B．(2)的可能性大C．两者一样．D．无法比较3．有两面可绕一立轴转动的立式镜，我站在这两面镜手前的一个点上，这个点位于镜面夹角的角平分面上。若两镜面的夹角为5O°，我将可以看到自己的镜像数为()A．10B．8C．6D．44．如图，平行四边形的每一个顶点都用直线与两条对边的中点相连。这些直线所围成图形的面积是原平行四边形面积的()A．四分之一B．六分之一C．八分之一D．十分之一5．有一位作家，被一个稀奇古怪的困难弄得寝食不安。他写作品写得越是接近结尾，就写得越慢。他着手写一部作品的时候，每天的完成量同余下要写的页数成比例。例如，对于某一本书来说，他写第一页用了10天时间，但写最后一页却要用50天时间。这本书的页数与他写完的天数分别为()(每当余下要写的页数与所用的天数不是整数时，总是用进一法化为大于它且最接近它的那个整数)A．8，130B．7，125C．6，120D.5，115二、填空题(每题6分，共30分)6．如图所示，矩形被一些线段分割成若干块，其中有些线段的长度已知。如果这些小块可以拼成一个正方形，那么这个正方形的周长为。(此题有误)（第6题）（第8题）7．数字3可以有四种方式表达为1个或几个正整数的有序和3，1+2，2+1，l+l+1，那么对于一般的正整数n，如此表达方式的个数为。8.如图，半径分别为r与R的两圆相交(R≥r)，那么两圆不重叠部分的面积的差是，9．某种产品以液剂与粉剂两种形式出售。一项市场调查表明：13接受调查的消费者不用粉剂；27接受调查的消费者不用液剂；427位接受调查的消费者既用液剂，也用粉剂；15接受调查的消费者根本不用这种商品。接受调查的消费者的人数为。10.张斌卖起布来了，他自定零售价比批发价高40％。但他发现，由于他所用的米尺不准确，他只赚了39％。张斌卖布时所用尺的1“米”比较标准的1米多了。三、解答题(每题15分，共60分)11．小陈驾车从巴黎出发，在公路上匀速前进。不久，他经过一个“里程碑”(当然，事实上应叫“千米碑”)，上面是个两位数。一小时后，他又经过一个里程碑，上面是与他前同样的两个数码，但左右顺序相反。又过一小时，他经过第三个里程碑，上面是个三位数，是在上述两个数码(顺序或逆序)中间再夹一个零。请问小陈的车速是多少?12．若点P为已知相交两圆的一个交点，试过点P作一不包含公共弦的直线l(公共弦是指两圆交点间的连线段)，使其被两圆截出相等的两条线段。13．王明、李宏和赵亮参加同样系列的测试。在每一项测试中，三人的成绩均为两两相异的正整数x，y，z。每人所得的成绩总和如下：王明20分，李宏lO分，赵亮9分。若李宏在代数测试中名列第一，那么几何测试中谁列第二位?14．现有一台天平，一个2克的砝码和一个7克的砝码，要求只使用这台天平三次，将一包重140克的食盐分成90克和50克。此外，为了便于减少误差，每次分离食盐时，规定重量是整数千克。请你设计尽可能多的方案，说明基本理由。参考答案及评分意见一、选择题(每题6分，共30分)1．C不管等分数为多少，各个半圆的周长之和始终为5π。2．A我们把这6张牌用1到6这些数字编号，并且假定5号牌和6号牌就是那两张老K。现在，我们列出从6张牌中取出两张的所有不同组合，总共有15种这样的组合：1—2，2—3，3—4，4—5，5—61—3，2—4，3—5，4—61—4，2—5，3—61—5，2—61—6注意在这15对牌中有9对包含老K(5号牌和6号牌)。既然每对牌出现的可能性都一样，这就意味着，从长远说，你每进行15次尝试就有9次至少翻出一张老K。换句话说，至少翻出一张老K的可能性是9/15，这个分数可化简为3/5。这当然优于1/2，因此本题的答案是：你至少翻出一张老K的可能性比一张老K也翻不出的可能性大。3．C设镜面夹角为α。物体A在每面镜子中各有一个初始镜像A1和A1’。它们在对面的镜子中又会产生镜像，A1’的镜像为A2，A1的镜像为A2’……．这样，一面镜子就反射出了一系列的镜像：A1，A2，A3，…，An。另一面镜子则对称地反射出镜像A1’，A2’,A3’，…，An’。这些镜像依次位于与角平分面所成之夹角为α，2α,3α，…，nα的平面上。其中nα为小于或等于的最大夹角。如果nα正好等于180°，那么An和An’这两个镜像将重叠，于是总共产生2n-1个镜像。如果α在n1180和n180之间，那么你总共会得到2n个镜像。因为3180504180，所以总共会得到6个镜像。4．B如图，联结平行四边形对边的中点，将这个平行四边形分成四个平行四边形。注意左上角处的平行四边形AEPH，四边形PQRS就是所求图形在AEPH中的部分。注意到R是△ADB的两条中线的交点，因此A、R、P三点共线，且AP=3RP。于是有S△APS=3S△RPS,，S△AQP=3S△RQP，因此SPQRS=31SPQAS=61SAEPH。类似的推理可用于其他三个子平行四边形，最后得到所需结论为六分之一。5．D既然当他只剩下一页要写完时，他一天写1/50页，那么作为一条一般规律，他每天的写作量总是余下要写页数的1/50。他一开始以每天1/10页的速度写作，这意味着这部作品一共有5页。写第一页他用了10天；第2页他以每天4/50页的速度写完，因此用了1221天；第3页以每天3/50页的速度写完，用了1632天；第4页以每天2/50页的速度写完，用了25天；写第5页用了50天。因此总共用了11461天，进位为115天。二、填空题(每题6分，共30分)6．48．容易得到这个矩形的尺寸是9×16，由此所拼成的正方形的面积为144，它的边长为12，周长为48。7．2n-1一个有序的和a1+a2+…+aK=n，ai≥1可以用排成一行的个1被个斜杠“／”分割开的形式来表达，即111…1／11…1／11…1／…／11…1其中第1部分含a个1，第2部分含a2个1，第3部分含a3个1，……，最后的第k部分含ak个1。为了得到所有这样的表达形式(对所有的1≤k≤n)，可以将n个l排成一行，在每相邻两个1之间产生的n-1个空位中，要么放上一个斜杠，要么不放，这样就可产生2n-1种不同的表达形式。8．π(R2-r2)若设两圆重叠部分的面积为S0，则两圆不重叠部分的面积分别为S1=πr2-S0与S2=πR2-S0。那么不重叠部分面积之差为S=S2-S1=π(R2-r2)所有接受调查的对象可以划分为四个部分：A：根本不用该产品；B：只用液剂；C：液剂与粉剂都用；D：只用粉剂。8．735设接受调查的消费者人数为x，则由题意，可列方程xxxx)5172(427)5131(51解得x=735。10．7．2毫米若设张斌用每米1元的价格买进布，并设L是他所用尺上1“米”的实际长度。张斌认为他是在卖l米长的布时，他实际上卖的是L米，这L米布的进价为上元，售出价为1．40元，所以他赚的利润是(1．40-L)元，从而可以列出下列方程：39/100=(1．40-L)/L于是解出L=1140/139=1．0072。因此实际上，他的l“米”长出了7．2毫米。三．解答题(每题15分，共60分)11．解：第一个里程碑上的千米数可以写成10A+B；第二个里程碑上的千米数可以写成10B+A。至于第三个里程碑上的千米数，则必为以下两者之一：100A+B或100B+A。由于小陈匀速行驶，故而第一、二两个里程碑之间的距离同第二、三两个里程碑之间的距离相等。于是第三个里程碑上的百位数最大只能是1，(评分4分)这是因为9l+(91-19)=163。又由于A是第一个里程碑上的十位数，它必定小于第二个里程碑上的十位数，所以只能100A=100。于是可以列出方程：(10B+1)-(10+B)=(100+B)-(10B+1)解出B=6。(评分4分)故这三个里程碑上的数字分别是：16、61、106。(评分各1分，共3分)小陈的车速为每小时45千米。(评分4分)12．如图，观察所需要的结果，注意到点Ql可以看成是点Q2以P为中心旋转180°而得到的。因此点Q1既在圆O1上，也在圆O2以点为P中心旋转l80°所得的图形上，这个图形与圆O2大小相同，且与圆O2相切于点P。13．不妨假设xyz≥1，记N为测试的项数，据题意(系列测试)知N1，且有(x+y+z)N=20+10+9=39。因x+y+z≥3+2+1=6,(评分2分)知N≤6(评分2分),又因N整除39，所以N=3(评分2分)，x+y+z=13(评分2分)(x，y，z≥1)。于是两两相异的整数x，y，z可能为(x，y,z)=(10，2,1)：(9，3，1)，(8，4，1)，(8，3，2)，(7，5，1)，(7，4，2)，(6，5，2)，(6，4，3)基于王明的总分为20，只有(8，4，1)是可能的，(评分2分)删去其他情况。因此李宏的代数测试成绩为8,4,1中的最大值8。这样阿题就转化为填空下列表格，使得每一行都为8，4，1这三个成绩，三列的总和分别为20，10，9王明李宏赵亮代数8几何其他学科20109容易找到问题的唯一解(评分3分)王明李宏赵亮代数481几何814其他学科81420109因此赵亮在几何测试中位列第二。(评分2分)14．此题有多种答案。若考虑现有砝码与其不同放置的情况，可将指定重量分为2份，它们的重量之差(克数)仅限于：0、2、5、7与9。因此可设如下数学模型：为整数、，奇数或或偶数或yx)(N975)(N20ky-xN,yxk(评分：第一种2分，第二种32发)从而可得下列5种解决方案(评分：每个方案各2分，共10分)而若考虑将已称量的食盐当作新的砝码，则还可以得到其他的解决方案(略)。