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17.若矩阵A=(aij)满足则成A为严格对角占优矩阵.试证严格对角占优矩阵A经过一步Gauss消元后,所得的A(2)仍为严格对占优矩阵.证明:niaaiinijjij,,1,,111,21111,1,21111,2111111,21111)2(1,1)2(111111111111)2(11111)2(0)2(aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaiiaaaaanijjjinijjijnijjjinijjijiinijjjiijinijjijiiiiijiijij行,有对于第由2nijjijnijjjinijjijnijjjnjjnijjjinijjijiiiiiiiiiiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa,1)2(11,21111,1,1121,21111,111111111)2(另一方面第三章矩阵特征值与特征向量的计算4计算方法第三章§3.1乘幂法及其变体§3.2子空间迭代法§3.3Jacobi旋转法§3.4Householder方法§3.5QR算法5计算方法第三章§3.1乘幂法及其变体3.1.1乘幂法3.1.2反幂法3.1.3乘幂法的加速6计算方法第三章设A为n阶方阵,若有数使得则称为A的特征值,x为相应于的特征向量。Axx()nnijAaR(0)nxRx(3.1.1)7计算方法第三章特征问题的求解包括1.求特征值,满足2.求特征向量满足齐次方程组(0)nxRx()det()0AI(3.1.2)()0AIx(3.1.3)称为A的特征多项式8计算方法第三章设为的特征值且,其中x≠0,则1)为cA的特征值(c为常数c≠0)2)为的特征值,即3)为Ak的特征值AxxnnARcpApI()()ApIxpxk9计算方法第三章4)设A为非奇异矩阵,那么且为A-1特征值,即5)6)0111Axx12det()nA()()TAA10计算方法第三章7)设为对称矩阵(其特征值次序记为),则对于任意非零nnAR12nnxR1(,)(,)nAxxxx10(,)max(,)nxRxAxxxx0(,)min(,)nnxRxAxxxx11计算方法第三章乘幂法用于求大型稀疏矩阵的主特征值的迭代方法。其特点为公式简单,易于在计算机上实现。12计算方法第三章乘幂法的计算公式设取初始向量令……•由此可得向量序列(0)nxR(1)(0)xAx(2)(1)xAx()(1)kkxAx(3.1.4)()kx()nnijAaR13计算方法第三章()(2)2(2)(0)()...kkkkxAAxAxAx•由(3.1.4),有(3.1.5)•称此方法为乘幂法•(3.1.4)或(3.1.5)称为乘幂公式•称为乘幂序列()kx14计算方法第三章定理3.1设有完全特征向量系,若1,2,…,n为A的n个特征值,满足()nnijAaR|1||2|…|n|对任何初始向量由乘幂公式所确定的迭代序列有下面的结论:(0)nxR()(0)kkxAx()kx15计算方法第三章定理3.1(1)当|1||2|时,有(1)1()limkikkixx此极限过程的收敛速度取决于211r的程度。•r越小收敛越快。•r接近于1时,收敛很慢。•且(当k充分大时)可取作为相应于1的近似特征向量。()kx16计算方法第三章(2)当|1|=|2||3|时,有①若1=2,则主特征值1及相应特征向量的求法同(1)。②若1=-2,则有(2)21()lim(i=1,2,...,n)kikkixx•此极限过程的收敛速度取决于的程度。•向量分别作为主特征值1,2相应的近似特征向量311r(1)()(1)()11,kkkkxxxx17计算方法第三章乘幂法可用于近似计算矩阵按模最大的一个(或几个)特征值以及相应的特征向量当比值时,收敛速度快计算公式简便,便于在计算机上实现。211r18计算方法第三章规范化的乘幂法公式令表示向量x个分量绝对值最大者,即如果有某个i0,使得max()x01()maxiiinxx则令0max()ixx•规范化的乘幂法公式()()()(1)()/max()(k=0,1,...)(3.1.23)kkkkkyxxxAy19计算方法第三章规范化乘幂法的步骤取n维异于0的初始向量x(0)一般让x(0)满足即对于k=0,1,2,……按如下式迭代(0)(0)(0)(0)12(,)Tnxxxx(0)max()1x(0)1x()()()(1)()/max()kkkkkyxxxAy20计算方法第三章终止条件输出结果()(1)kkxx()1()1max()kkxxy21计算方法第三章•例题例3.1用规范化乘幂法计算矩阵A的主特征值及相应的特征向量41405130102A22计算方法第三章乘幂法的加速引进参数,用矩阵来代替A进行乘幂迭代。设为矩阵B的特征值,则B与A特征值之间应有关系式00BAI(1,2,...,)iin0(1,2,...,)iiin设为矩阵A相应于的特征向量,则也是的特征向量。iiii23计算方法第三章对任何关于矩阵B的乘幂公式(3.1.5)可表示为(0)nxR()(0)(0)01112101011210()==()kkkknjjjknjkjjjxBxAIx24计算方法第三章为加速收敛速度,应如此选择参数,使达到最小。000210()maxkjjn(3.1.29)*021()2n25计算方法第三章原点移位法是一个矩阵变换过程,变换简单且不破坏原矩阵的稀疏性。但由于预先不知道特征值的分布,应用有困难。通常对特征值的分布有个大略估计设定一个参数值进行试算,当所取对迭代有明显加速效应以后再进行试算。02(,)n026计算方法第三章•例题例3.2计算矩阵A的主特征值110.5110.250.50.252A27计算方法第三章反幂法用来求A的绝对值最小的特征值及相应的特征向量。设A可逆,由可知即若为矩阵A的特征值,则必为矩阵的特征值,且特征向量相同。()nnijAaR(0)Axxx11Axx011A28计算方法第三章•反幂法迭代公式(1)1()kkxAx(3.1.24)由(3.1.24),可求出的按模最大特征值,再取倒数即可得到矩阵A的按模最小特征值。1A1nn29计算方法第三章•规范化的反幂法公式()()()(1)()/max()(k=0,1,...)(3.1.26)kkkkkyxxAxy()(1)(3.1.27)kkLxyUxx•系数矩阵A是不变的,可利用矩阵的三角分解A=LU30计算方法第三章•在|1||2|…|n|0的情形,有()1limmax()kknx(3.1.24)•且知即为相应的近似特征向量,它的收敛速度取决于的大小。()ky1nn31计算方法第三章反幂法的求解步骤分解计算反幂法迭代(1)(2)k=1,2,…1)2)0AILU(0)(0)(0)(1,,1),Txyx(1)(1)kkLxyUxxx(1)kx求求()()()/max()kkkyxx
本文标题:2007用-矩阵特征值与特征向量的计算3.1
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