优秀课件-函数的单调性

（一）操作方法1.3.1函数的基本性质——函数的单调性教师2012年9月21日数学公开课问题提出德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123T(℃)气温T是关于时间t的函数曲线图4812162024to-2248610思考:气温发生了怎样的变化？在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？12)(xxf12)(xxf函数值随着自变量x的增大而增大函数值随着自变量x的增大而减小用描点法画出下例函数的图像函数值随着自变量的改变怎样变化？12xyx01-12-2…y01-18-8…3xy1）图象在y轴右侧随着x的增加，y的值在增加,图像上升2）图象在y轴左侧随着x的增加，y的值在减小图像下降函数值随着自变量x的增大而增大,0,0x01-12-2…y12255…1、在区间____上，f(x)的值随着x的增大而______．2、在区间_____上，f(x)的值随着x的增大而_____．(-∞,0][0,+∞)增大减小仿照上例：画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：.),0[)()()()(,)(,),0[2212122221121增函数上是在区间们就说函数，这时我时，有，当，得到上任取两个在区间xxfxfxfxxxxfxxfxx如何利用函数解析式f(x)=x2来描述图象这种变化规律?,,xx21在给定区间上任取21xx)f(x)f(x21函数f(x)在给定区间上为增函数。Oxyf(x)y如何用x与f(x)来描述上升的图像？)f(x11x如何用x与f(x)来描述下降的图像？,,xx21在给定区间上任取21xx函数f(x)在给定区间上为减函数。)f(x)f(x21)f(x1)f(x2f(x)yOxy1x2x)f(x22x一、函数单调性定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．1．增函数一、函数单调性定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．2．减函数如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.二、函数单调区间定义练习：1、分别画出下列函数的图象，并根据它们的图象指出其单调区间。（1）y=2x+1（2）y=(x-1)2-1（3）y=（4）y=2x1yxoy(1)y=2x+1xo2)y=(x-1)2-112-1yOxxy1)3(增区间为(,)增区间为[1,)减区间为(,1]减区间为(,0),(0,)(4)y=2无单调性1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?Oyx例1下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数的图象,根据图象说出的单调区间,以及在每一区间上,是增函数还是减函数.)(xfy)(xfy)(xfy-212345-23-3-4-5-1-112xyO解：根据函数图象可知[-2,1),[3,5]上是增函数。函数单调区间有[-5，-2),[-2，1),[1,3),[3，5],)(xfy其中在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间)(xfy注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在单调性问题。请结合图象说出一次函数与二次函数的单调区间.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在上是增函数在上是减函数--2ba，,2ba在上是增函数在上是减函数--2ba，,2ba在(-∞,+∞)上是减函数在(-∞,+∞)上是增函数一次函数y=kx+b(k≠0)yox当k0时,yox当k0时,yox当a0时,yox当a0时,1、任取x1，x2∈D，且x1x2；2、作差f(x1)－f(x2)，变形;3、定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；4、下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．二、利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：22)(xxf例2：证明：函数在R上是单调减函数．证：在R上任意取两个值，且，21,xx21xx∵21xx,021xx0)(221xx,0)()(21xfxf).()(21xfxf∴∴即∴22)(xxf在R上是单调减函数．取值作差变形定号判断)22()22()()(2121xxxfxf)(221xx则f(x)2x1证明函数在区间（，）上是增函数。[例3]内任意是区间设),(21,xx)x2(x1)(2x1)(2x)f(x)f(x2121210xx,xx21210)f(x)f(x21)f(x)f(x21即),(12xf(x)在区间则函数证明：。两个实数，且21xx是增函数。（条件）（论证结果）（结论）1.函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A.k＞B.k＜C.k＞－D.k＜－解析：∵函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减数，∴2k＋1＜0，∴k＜－.答案：对应习题.),0(1)(减函数？证明你的结论上是增函数还是在函数xxf证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则22111)(,1)(xxfxxf212111)()(xxxfxf2112xxxx0),0(,2121xxxx01221xxxx.),0(1)(上是减函数在函数xxf1－1－1Oxy1f（x）在定义域上是减函数吗？减函数0)()(21xfxf)()(21xfxf取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-1＜1f（-1）＜f（1）例4：1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?1()fxxyOx-11-11取自变量－11，而f(－1)f(1)∴不能说在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数要写成(-∞,0)，(0,+∞)的形式。1yx逗号隔开巩固1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?例4、讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.解：取x1x2,,x1、x2∈R，f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）=(x1－x2)(x1+x2－4）则当x1x22时，x1+x2－40，f(x1)f(x2)，所以y=f(x)在区间(-∞,2)单调递减。当2x1x2时，x1+x2－40，f(x1)f(x2)，所以y=f(x)在区间(2,+∞)单调递增。综上y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。2.若函数y＝ax与y＝－(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析：∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数∴a＜0，b＜0，∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－＜0，∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)是减函数.答案：B3.如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的有.①＞0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；③f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)；④＞0.解析：∵f(x)在[a，b]上为增函数.∴x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同.∴①②④均正确.又∵不知道x1，x2的大小，∴无法比较f(x1)与f(x2)的大小，故③错误.答案：①②④4.已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是.解析：①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上为减函数；②当a0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝必在x＝3的右边，即≥3，故0a≤；③当a0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数.综合知：a的取值范围是[0，].答案：[0，]设量判断差符号作差变形下结论课堂小结1.两个定义：增函数、减函数的定义；②(定义法)证明函数单调性，步骤:①图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右减函数的图象从左到右上升下降3.一个数学思想：数形结合2：两种方法如何确定函数的单调区间？4(),fxxx[1,5]x选做题：作业:（必做）优化指导、活页做同步布置作业3()1Rfxx1.证明函数在上为增函数.课堂练习：22()23(1)()(2)()23(,1]fxxxfxfxxx2.已知函数，根据图像写出函数的单调区间；证明在区间是增函数；(3)()(,]fxmm当函数在区间是增函数时，求实数的取值范围。谢谢观赏