1.4.3正切函数的图像和性质

1.4.3正切函数的图象和性质课件制作：广西民族高中李剑君2014.05.23一、引入如何用正弦线作正弦函数图象呢？用正切线作正切函数y=tanx的图象.]2,0[,sin1图象、用平移正弦线得xxy.2图象向左、右扩展得到、再利用周期性把该段类比问题1、正切函数是否为周期函数？y=tanx∴是周期函数，是它的一个周期．y=tanx我们先来作一个周期内的图象。想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ππ(-,)22利用正切线画出函数，的图像:xytan22，x∵fx+π=tanx+π=tanxxf为什么？二、探究用正切线作正切函数图象正切线的终边及单位圆作角.1Ax.2轴的正半轴的交点设为单位圆与作单位圆的切线过A.34.,,tan1TMPATATATOMOA若切线与的终边相交设交点为则有ATATOAATOMMPT1tan,,,则设交点为终边相交若延长线与终边的反延长的终边不相交若切线与PMOATTPMOA的正切线叫做角ATAT,tan作法如下：（1）作直角坐标系，并在直角坐标系y轴左侧作单位圆。（2）把单位右半圆8等份而且分别作出正切线（3）把在x轴上从到这一段分成8等份（3）平移正切线。（4）连线。2xyO12OA84838483848383842220xy1-12323xytan)(2Zkkx正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。的图象正切函数xytan-2232522--32-2-52……定义域值域周期奇偶性单调区间所有的对称中心所有的渐近线Zkkx,2R奇函数)2,2(:kk区间Zkk),0,(Zkkx,2无对称轴(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？问题：AB在每一个开区间，内都是增函数。ππ(-+kπ,+kπ)22kZ正切函数图象的简单画法：三点两线法。“三点”:），）、（，、（1414)0,0(“两线”:22xx和xy0223223441-1例1.求函数)4tan(xy的定义域Zkkx24∴Zkkx4∴函数)4tan(xy的定义域为：}4|{Zkkxx解：令，那么函数的定义域是:4xzzytanZkkzz，2例2.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：tan0tan0tan0xxx(1);(2);(3)xy22o22tanyx解：(,)2xkkkZ(1)xkkZ(2)(,)2xkkkZ(3)方法：1、先找一个特殊的周期区间分析2、在端点值（具体值）上加上周期的整数倍tan3x解不等式：解：0yx323例2变式：（法一）tan3x解不等式：解：（法二）yx0TA3例2变式：练习：xy3tan)1(},36Zkkx︱x{︱x{},24Zkkxkx且x{︱k＜≤x},4Zkkxxytan1tan1)2(xytanlog)3(21所求定义域为：xtanlog21≥0xtan＞0Zkkx20＜tanx≤1Zkkx2Zkkx2kxk4＜≤1．求下列函数的定义域：2．tanx＞0是x＞0的（）Ａ．充分非必要条件Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．非充分非必要条件３.将函数y=tan2x的图象向左平移6个单位，得到图象的函数解析式是（）)62tan()(xyA)32tan()(xyB)62tan()(xyC)32tan()(xyDDB例3．求下列函数的周期:2T2T)(24,2tanZkkxxy⑴⑵)()12(,2tan5Zkkxxyxxf2tan)(设RxxfTxf，对任意根据周期的定义：)()()2()2(2tan)2tan(2tan)(xfxxxxf)()2(xfxf分析(1)2T的周期为：为常数，且其中且，)0,0,,()(2)tan(一般地，函数AAZkkxRxxAyT总结：例4．求下列函数的单调区间),234()62tan()1(ZkkxxyZkkxk2622Zkkxk342322Zkkkxy）的单调递增区间是（函数342,322)62tan(分析：针对练习.)42tan(.2的单调区间求函数xy42,tan,42xttyxt且则令)(tan22Zktyktk时当43242422kxkkxk83282kxk为所求Zkkk),82,832(),103()5tan(.1Zkkxxy的单调区间求Zkkk)103,107(.)(tanlog.52.0的单调区间确定函数例xytytytxt2.02.0log,log,0,tan且则令的图象观察0,tantxt-72xt032-3-2-72-525232-322-2))(2,[0,tanZkkktxt的单调增区间是))(2,[)(tanlog2.0Zkkkxy区间是的单调函数无单调增区间基本函数把复合函数分解为两个换元,例6.比较下列每组数的大小。oo(1)tan167与tan173说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。000090167173180tanyx在，上是增函数，200tan167tan173解:13tan()511（2）tan(-）与411tantan44解：（）132tan()tan5520452又1113tan()tan()45上是增函数在)2,2(tanxy(0,)tancot,2....22ABCD练习1.如果、且那么必有（）143tan138tan)1(与517tan413tan)2(与练习2143tan138tan413tan517tan比较大小方法：1、将角转化在同一个单调区间2、利用正切函数的单调性？的交点间的距离是多少的相邻两支与为常数、直线例xyaaytan)(7解：由图象间隔是多少？），则答案为多少？（换为变：上题中的0tantanxyxy距离为ay的最小值。得到一个奇函数，求）之后个单位（向右移动＋、将函数例032tan8xy322tan3)(2tanxxy解：平移后函数为)()(xfxf由奇函数性质322tan322tan322tanxxx即kxx322322Zkk,466＝由条件可知例9.判定下列函数的奇偶性2costanyxxx判定函数奇偶性的步骤：(1).求原函数的定义域(2).看原函数定义域是否关于原点对称(3).验证或是否成立()()fxfx()()fxfx分析：2232322323|tan|yx练习2：试着画出并讨论它的单调性，周期性和奇偶性..1tan2xcos1,4,3102的值的最值及相应的求函数、若例xxyx:解tan,,3,134txxt令2222cossin2tan1tan2tan2cosxxyxxxx1)1(2222ttty22.(tan)4tan1yxx求的值域；练习(三维设计活页P)4.10正切函数的图像和性质xytan（1）的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。22，Z2kkxx，R22kk，ZkZk2kx0，kZk（2）性质:xytan定义域值域周期奇偶性单调增区间对称中心渐近线方程奇函数小结：（3）思想方法：1、作图：平移三角函数线2、比较大小：利用单调性3、类比归纳、整体代换、数形结合;)24tan(.1的单调区间是函数xy;)24tan(.2的对称中心是函数xy;)1(tanlog.3sin的定义域是函数xyx;tanlog2.45.0的定义域是函数xxy;,1tan.5的取值范围是则角是三角形的一个内角且已知AAA;,,)3tan(22tan.6平移变换是伸缩变换是的图象变换后得到函数的图象经过伸缩与平移函数xyxy本节针对练习3,40,2;)2tan(.7的周期是函数xAy;,12tan22tan.92的值是取最值时当的值域是函数xyxxy;)0,0()tan(.8的周期是函数AbxAy.sintan,23,2310图象的交点的个数的与求函数范围内、在区间xyxy