1019高一数学求函数的定义域与值域的常用方法

合肥皖智教育培训中心HeFeiWanZhiEducationalTrainingCenter第1页共8页1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域注意：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=xk(k≠0)（三）1、如何求函数的定义域例1：已知函数f(x)=3x+21x（1）求函数的定义域；（2）求f（－3），f(32)的值；（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．时间段授课内容一函数定义域二函数值域三函数解析式四例题讲解与小结、练习合肥皖智教育培训中心HeFeiWanZhiEducationalTrainingCenter第2页共8页解：例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.分析：小结几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.2、如何判断两个函数是否为同一函数例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）y=(x)2;（2）y=(33x);（3）y=2x;（4）y=xx2分析：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。合肥皖智教育培训中心HeFeiWanZhiEducationalTrainingCenter第3页共8页（2）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？①f(x)=(x－1)0；g(x)=1②f(x)=x；g(x)=2x③f(x)=x2；f(x)=(x+1)2④f(x)=|x|；g(x)=2x（3）求下列函数的定义域①1()||fxxx②1()11fxx③f(x)=1x+x21④f(x)=24xx⑤()131fxxx一.求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二.求函数的解析式求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之合肥皖智教育培训中心HeFeiWanZhiEducationalTrainingCenter第4页共8页间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例1.已知2211()xxxfxx，试求()fx。解：说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例2.（1）已知21()2()345fxfxxx，试求()fx；（2）已知2()2()345fxfxxx，试求()fx；解：合肥皖智教育培训中心HeFeiWanZhiEducationalTrainingCenter第5页共8页说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例4.求下列函数的解析式：（1）已知)(xf是二次函数，且1)()1(,2)0(xxfxff，求)(xf；（2）已知xxxf2)1(，求)(xf，)1(xf，)(2xf；（3）已知xxxxxf11)1(22，求)(xf；（4）已知3)(2)(3xxfxf，求)(xf。【思路分析】【题意分析】（1）由已知)(xf是二次函数，所以可设)0()(2acbxaxxf，设法求出cba,,即可。（2）若能将xx2适当变形，用1x的式子表示就容易解决了。（3）设xx1为一个整体，不妨设为t，然后用t表示x，代入原表达式求解。（4）x，x同时使得)(xf有意义，用x代替x建立关于)(xf，)(xf的两个方程就行了【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式)0(2acbxaxy，顶点式khxay2)(和标根式))((21xxxxay的选择；（2）已知)]([xgf求)(xf的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数方程问题，需建立关于)(xf的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现)(xf，)1(xf，则一般将式中的x用x1代替，构造另一方程。特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例3.求324xyxx的定义域。合肥皖智教育培训中心HeFeiWanZhiEducationalTrainingCenter第6页共8页解：由题意知：204xx，从而解得：x－2且x≠±4.故所求定义域为：{x|x－2且x≠±4}。例2.求下列函数的定义域：（1）35)(xxxf；（2）xxxf11)(【思路分析】【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例4.已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435－617解：{1，2，3，4，5，6}。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。2()3,(),(())43xfxxgxyfgxxx例8已知求的定义域.解：2()33()3343xfxxxgxxx由例9.若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。解：三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。合肥皖智教育培训中心HeFeiWanZhiEducationalTrainingCenter第7页共8页1、分离变量法例11.求函数231xyx的值域。解：说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12.求函数y＝2x2＋4x的值域。解：说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。3、判别式法例13.求函数2223456xxyxx的值域。解：说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。4、单调性法例14.求函数23yx，x∈［4，5］的值域。合肥皖智教育培训中心HeFeiWanZhiEducationalTrainingCenter第8页共8页解：5、换元法例15.求函数241yxx的值域。解：例3.求下列函数的值域：（1）5,4,3,2,1,12xxy（2）1xy（3）2211xxy（4）)25(,322xxxy【思路分析】【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数)(xfy，其值域就是指集合Ax),x(fyyC；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。