§2.2 线性方程与常数变易法

1、§2.2线性方程与常数变易法0)()()(xcyxbdxdyxa一阶线性微分方程的区间上可写成在0)(xa)1()()(xQyxPdxdy的连续函数在考虑的区间上是这里假设xxQxP)(),(变为则若)1(,0)(xQ)2()(yxPdxdy称为一阶齐次线性方程)2(称为一阶非齐线性方程则若)1(,0)(xQ一一阶线性微分方程的解法-----常数变易法解对应的齐次方程01()(2)dypxydx得对应齐次方程解常数变易法求解02))1(),((的解使它为的待定函数变为将常数xcxc为任意常数cdxceyxp,)(则的解为令,)1()()(dxxpexcy)1()()(xQyxPdxdydxxpdxxpexpxcedxxdcdxdy)()()()()(代入(1)得dxxpexQdxxdc)()()(积分得~)()()(cdxexQxcdxxp的通解为故)1(30)3())((~)()(cdxexQeydxxpdxxp注求(1)的通解可直接用公式(3)例1求方程1)1()1(nxxenydxdyx通解,这里为n。

2、常数解:将方程改写为nxxeyxndxdy)1(1首先,求齐次方程yxndxdy1的通解从yxndxdy1分离变量得dxxnydy111lnlncxny两边积分得故对应齐次方程通解为nxcy)1(其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,代入得为原方程的通解令,)1)((nxxcynxnnnxexxncxxncxdxxdc)1()1)(()1)(()1()(11即xedxxdc)(积分得~)(cexcx故通解为为任意常数~~),()1(ccexyxnndxxndxxpxccecey)1(1)(例2求方程22yxydxdy通解.解:，y的线性方程原方程不是未知函数但将它改写为yyxdydx22即yxydydx2，yx为自变量的线性方程为未知函数它是以,故其通解为))((~)()(cdyeyQexdyypdyyp))((~22cdyeyedyydyy。ccyy为任意常数),ln(~2例3求值问题1)1(,1432yxyxdxdy的解.解:先求原方程的通解))((~。

3、)()(cdxexQeydxxpdxxp))14((~323cdxexedxxdxx)1)14((~323cdxxxx)21ln4(~23cxxx3~432lnxcxxx代入后得将初始条件1)1(y23~c故所给初值问题的通解为223ln343xxxxy)1)14((~323cdxxxx方程伯努利二)(Bernoulli形如nyxQyxpdxdy)()(的方程,称为伯努利方程.。xxQxP的连续函数为这里)(),(解法:方程变为引入变量变换,110nyz)()1()()1(xQnzxPndxdz求以上线性方程的通解02变量还原03例4求方程yxxydxdy222的通解.解:,1,nBernoulli方程这是代入方程得令,2yz21xzxdxdz解以上线性方程得)(121cdxexezdxxdxx321xcx:2为代入得所给方程的通解将yz3221xcxy例5R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当。

4、开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.二线性微分方程的应用举例电路的Kirchhoff第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.则电流经过电感L,电阻R的电压降分别为,,RIdtdIL.ERIdtdIL解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,.0)0(I即.LEILRdtdI得通解为:REcetItLR)(故当开关K合上后,电路中电流强度为)1()(tLReREtI,0)0(得由初始条件IREcREcetItLR)(作业P377,8,11,12,15,16,20。