描述函数法

自动控制原理天津职业技术师范大学自动化与电气工程学院王菁华推荐百度：描述函数达尼尔朋来先敬第七章非线性系统7.1典型非线性特性7.2描述函数7.3描述函数法7.4相平面法7.5像平面法分析7.6例题精解在频率特性中我们知道，对于线性时不变系统，当输入正弦函数时输出也是同频率的正弦函数，输出和输入只有幅值和相位的差别。对于非线性系统，当输入正弦函数时,输出是同频率的非正弦函数，也就是说输出中含有高次谐波，可见线性系统的频率法不适用于非线性系统。描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的,它是线性系统频率法在非线性系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法。§7.2描述函数(2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直流分量。(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。1.描述函数法的应用条件7.2描述函数一、描述函数的定义(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。7-13非线性系统典型结构图7.2描述函数2.描述函数的定义设非线性环节y=f(x)的输入为正弦函数：sin)(tAtx式中，A是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出分解为富氏级数：)sin()sincos()(1010nnnnnntnYAtnBtnAAty7.2描述函数)(tan)(sin)(1)(cos)(11222020nnnnnnnnBABAYttdntyBttdntyA7.2描述函数如果非线性特性是奇对称的，即满足条件(2)那么直流分量A0=0。11121211111111arctan)sin(sincos)()(BABAYtYtBtAtyty7.2描述函数在傅氏级数中，n越大，谐波分量的频率越高，所占比重越小，即An、Bn越小，如果系统满足条件(3)即G(s)具有良好的低通特性，则高次谐波分量会大大衰减，可认为非线性环节的稳态输出只含有基波分量：如果函数y=f(x)已知，输入正弦函数幅值A是一个待定常数，那么傅氏级数只与A有关，记作。1111,,,YBA)(),(),(),(1111AAYABAA)(1111)()()()(AjeAAYAAjAABAN显然，描述函数是A的函数，描述函数可以理解为非线性环节在忽略高次谐波情况下的非线性增益——这个增益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇对称的，那么：ABNA/,0,01117.2描述函数描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函数的复数比：二、描述函数的计算1）死区特性t11211y二、描述函数的计算:输出-a)(sin)(aAtAtx输入：ay)]2,2(),(),0[(||;01111tax),(;)sin()(11taxatAkaxk)2,(;)sin()(11taxatAkaxk0,011A因为死区特性是单值奇对称的，所以)(sin)sin(4)(sin)(4)(sin)(12020201ttdatAkttdtyttdtyB中带入到则设111111)(sin,sinBAattAat二、描述函数的计算2111111111212212211)(sin22sin22)cossin)cossin2124(4)(sinsin)(22cos14)(sinsin)(sin41111AaAaAaAktconttAktttttAkttdttdtAkttdttdtAkBtttt二、描述函数的计算)(1)(sin2)(211aAAaAaAakABAN所以死区特性的描述函数为：2）其他典型非线性环节特性二、描述函数的计算tsinA)t(x)2t(M)t0(M)t(y)tnsinBtncosA(A)t(yn1nn0单值奇对称A0=A1=0tsinB)t(y11MttdMttdtyttdtyB4)(sin1)(sin)(2)(sin)(100201AMAYAN40)(1傅氏展开二、描述函数的计算理想继电器特性的描述函数饱和特性死区饱和特性)aA(])Aa(1AaAa[sink2)A(N21)(])(1)(1sin[sin2)(2211sAAaAaAsAsAaAskAN其它常见非线性环节的描述函数死区继电器特性滞环继电器特性)()(14)(2aAAaAMAN)hA(AhsinAM4)A(N1间隙、滞环特性)aA(BAtgABA)A(N1112121]Aa)Aa[(kA4A21])Aa(Aa)Aa21(2)Aa21(sin2[kAB211])Aa(Aa)Aa21(2)Aa21(sin2[kAB211其它常见非线性环节的描述函数3）一般非线性环节的描述函数(理解补充内容)描述函数也适合于一般非线性系统。举例:34121xxy因为它是单值、奇对称的，，先求出y(t)：0,011AtAtAty33sin41sin21)(则输出为：设输入为正弦函数,sintAx二、描述函数的计算所以213204322033116321)(16321)(sin41sin214)(sinsin41sin214AABANAAtdtAtAttdtAtAB二、描述函数的计算此外，描述函数也可以由实验近似获得。当系统具有良好的低通特性时，给系统施加正弦信号，其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅值，记录输出信号的幅值和相位，即可近似求出。)(),(11AAY二、描述函数的计算概括起来，求描述函数的过程是：)(ty(1)先根据已知的输入x(t)=Asinωt和非线性特性y=f(x)求出输出。1111,,,YBA(2)然后由积分式求出，从而求出N(A)。主要工作量和技巧主要在积分。三、组合非线性特性的描述函数x1)非线性特性的并联等效y(t)1Nx(t)2N1y(t)2y(t)121212y(t)y(t)y(t)x(t)N(A)x(t)N(A)x(t)[N(A)N(A)]x(t)N(A)12N(A)N(A)N(A)121212y(t)y(t)y(t)x(t)N(A)x(t)N(A)x(t)[N(A)N(A)]x(t)N(A)yMk0yM00kx2N1NxzyxNyxz11k12yz22k1xy1212k222)非线性特性的串联等效三、组合非线性特性的描述函数考虑图示非线性系统，假设线性动态部分具有良好的低通特性，那么静态非线性特性可以用描述函数N(A)来表示。为了引入频率特性分析法，我们还假设G(A)是最小相位环节。7.3描述函数法7-13非线性系统典型结构图1）闭环非线性系统稳定性前几章已介绍了分析线性时不变系统稳定性的根轨迹法和频率特性法。如果频率特性推广到上图所示的非线性系统，则其闭环系统频率特性为：)()(1)()()()(jGANjGANjRjZ特征方程为0)()(1jGAN)()(1)(负倒描述函数或ANjG对最小相位系统（p=0的系统），在复平面上，若线性环节的幅相曲线G(jω)不包围(-1,j0)点，那么闭环系统稳定；如果G(jω)曲线包围(-1,j0)点，那么闭环系统不稳定。在线性系统中，对最小相位系统应用奈氏判据，当G(jw)=-1时，系统临界稳定。现在将上述结论推广到N(A)为非线性函数的情况。因为A连续变化时N(A)是复平面上的一条曲线，所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(jω)是否包围－1/N(A)曲线。通常我们称曲线－1／N(A)为负倒特性曲线。1）闭环非线性系统稳定性非线性系统的奈氏判据：是稳定的。曲线，则非线性系统曲线不包围若)(/1)()1(ANjG是不稳定的。曲线，则非线性系统曲线包围若)(/1)()2(ANjG称为自振荡。将在理论上产生振荡，统曲线相交，则非线性系曲线与若)(/1)()3(ANjG1）闭环非线性系统稳定性eRmI)(1AN)(jG)(1ANeRmI)(jG图7-14非线性系统的稳定性分析eRmI)(1AN)(jGM1M2ab1）闭环非线性系统稳定性稳！不稳！自振荡！图中M1、M2两点为自振荡点。产生自振荡意味着系统中有一个正弦信号在流通。2）自振荡的分析与计算)()(sin(|)()(|()(|)(|)(jGANtAANjGjGtyjGtc线性部分的输出为：设非线性环节输入信号tAtxsin)())(sin(|)(|)()(1ANtAANtyty为：则非线性环节输出信号因为系统是自振荡，所以)()(,0)(tctxtr从而)()(1|)()(|))()(sin(|)()(|sinjGANANjGjGANtAANjGtA即这就是系统产生自振荡的原因，归纳起来即为)(1)(ANjG2）自振荡的分析与计算先看M1点：如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，则工作点迁移到a，a点被G(jω)曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定——振荡幅值应逐渐增大。而对于M2点，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，工作点将移到b，b点不被G(jω)曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定——振荡幅值应逐渐减小，工作点会沿着负倒特性曲线重新回到M2点。M2点——稳定的自振荡点，M1点—不稳定的自振荡点。所以：自振荡的稳定性分析:2）自振荡的分析与计算判断自振荡稳定性的准则：在复平面自振荡点附近，当按幅值A增大的方向沿负倒特性曲线移动时，若系统从不稳定区进入稳定区，则该交点代表的是稳定的自振荡。反之，若沿负倒特性曲线振幅A增大的方向是从稳定区进入不稳定区，则该交点代表的是不稳定的自振荡。2）自振荡的分析与计算试求：①当K＝10时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自振荡的振幅和频率；②当K为何值时，系统处于临界稳定状态。已知非线性饱和特性参数a=1、斜率k=2例7-33）非线性系统稳定判据的应用)45()2(453)2(3)2)(1()(2422422KjKjKjjjKjG0)j(GIm266.1|4530|)(Re2242jGA＝a时5.01)(1kANA∞时)A(N1负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5，-∞)。)()(1sinarc[2)(12aAAaAaAakAN幅相曲线与负实轴交点：M-1.66-0.53）非线性系统稳定判据的应用38.466.1)(1AAN令显然M点是稳定的自振荡点。所以自振荡的幅值为A=4.38，而振荡频率为。2临界状态下K=36|453|)(Re2242KKjG5.0|)j(GRe)A(N1235.06KKM-1.66-0.53）非线性系统稳定判据的应用用描述