数列通项公式的求法(新编)

复习提问的通项公式的定义：1.数列na数列的第n项与项数n的函数关系如果可用一个公式来表示，则称这个公式为数列的通项公式。na)(nfanna注意：不是任何数列都有通项公式。若有，通项公式也不一定是唯一的。问题:是不是任何数列都有通项公式?若有,是不是唯一的?数列通项公式的求法dnaan)1(1),()(Nmndmnam2.等差数列的通项公式与前n项和公式dnnnaaanSnn2)1(2)(11问题：知道数列的通项公式（函数的解析式）,就可以求出数列的任何一项。哪如何求数列的通项公式？你会求什么数列的通项公式呢？等差数列与等比数列)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn项和公式：的通项公式与前等比数列nan}{3.11nnqaa),(Nmnqamnm)2()1(11nSSnSannn的关系：项和与前的通项数列nnnSnaa.411nnnaSS数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究其性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.因此近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式），求通项公式的问题，对于这类问题考生感到困难较大.为了突破这一难点，现将求数列通项的思想方法系统归纳如下:数列通项公式求法数列通项公式求法常用数学思想：1．化归思想；2.换元思想；3.方程思想观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：9，99，999，9999，…解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…∴通项公式为：1.观察法101nna2、定义法1nnaa例、已知数列的递推公式，求111)3,2nnaaa1112)2,3nnaaa等差数列等比数列}{，然后直接套用及出为等差（比）数列，求方法：若na例题：ma其中一项）（公比公差qd公式＝为整数，则通项公式且公比，为等比数列，若例：已知nnaqaaaaa512,124}{7483，然后套公式。与程组，解出的方与表示，得出与全部用，，，本题也可以把qaqaqaaaaa1118743124512}{838374aaaaaaan，为等比数列，则分析：是整数，又与的两根是方程与故知qxxaa4128051212428313353883)2(2321284nnnqaaqqaaaa，，12n，等比512}{8374aaaaan21.,(1)23;(2)(1);(3)21nnnnnnnnansasnnsns例的前和为求的通项公式11(1)(2)nnnsnassn主要是公式的运用3.Sn法nnaS，求知类型：求解方法：可直接应用公式)2()1(11nSSnSannn的通项公式。的图象上，求数列均在函数，点和为的前，数列为函数的图象经过原点，其导例：已知二次函数nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)()(,26)()(nnSxxxfn2323)(22，故有略解：依题意易得56)]1(2)1(3[232221nnnnnSSannnn－－时，故当合上式时，而当1111San)(56Nnnan故111.1,(2).21nnnnnsaasnsa例已知数列的求11111:221nnnnnsssss分析111111{}1,2nsas是首项为公差为的等差数列（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由an+1=an+f(n)得：当n1时，有an=an-1+f(n-1)an-1=an-2+f(n-2)…………………a3=a2+f(2)a2=a1+f(1)所以各式相加得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1).一般地，对于型如an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。4.叠加法111()nnkaafk112211()()()nnnnnaaaaaaaa1(1)(2)(2)(1)fnfnffa也可用横式来写：(也称累加法）例已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列{an}的通项公式。解：an=an-1+nan-1=an-2+（n-1）…………a3=a2+3a2=a1+2各式相加得，an=a1+n+(n-1)+…+3+2=1+n+(n-1)+…+3+2=n(n+1)/2当n=1时，a1=(1×2)/2=1,故，an=n(n+1)/2例已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列{an}的通项公式。解：an-an-1=2n-1-(n-1)an-1-an-2=2n-2-(n-2)…………a3-a2=22-2a2-a1=21-1各式相加得，an=a1+(2n-1+2n-2+…+22+21)-[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=1+(2n-2)+n(n-1)/2=2n+n(n-1)/2–1当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an=2n+n(n-1)/2-1已知,a1=a，an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。备注：（1）当f(n)为常数,即：（其中q是不为0的数）,此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得n1时，，5.叠乘法对于型如：an+1=f(n)·an类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。1nnaqa(也称累乘法、累积法）1()nnafna1(1)nnafna121121nnnnnaaaaaaaa1()(1)(1)fnfnfa11{},1,,1{}.nnnnanaaana例已知数列中求数列的通项公式132122112211132nnnnnaaaannaaaaannn22111,(1)0(1,2,3,).nnnnnnananaaana例设是首项为的正数项数列且求的通项公式22111(1)01nnnnnnnanaaaanan由本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出.（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;（3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法设an+1+m=c(an+m),得an+1=can+(c-1)m,与题设an+1=can+d,比较系数得:(c-1)m=d,所以有：m=d/(c-1)因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，6.辅助数列法这种方法类似于换元法,主要用于形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。1()11nnddacacc1ndac11dac11()11nnddaaccc11()11nnddaaccc即：（构造法或待定系数法）方法2：1,nnacad当2时1,,nnnacad两式相减，得：11()nnnnaacaa11nnnnaacaa2数列是以为首项，以为公比的等比数列11{}nnaaaac212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnnaaaacaaaacaaaaccaaaacaaaa.=（1211)1ncaac方法四：归纳、猜想、证明.1.先计算出a1,a2,a3;2.再猜想出通项an;3.最后用数学归纳法证明.1,nnacad2122()(1)nnnnacadccaddcadc=323(1)ncadcc=1221(1)nncadccc=1()11nddaccc方法三：迭代法由递推式直接迭代得例已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式解法1：由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（a1+3）×2n-1故an=6×2n-1-3解法2：因为an+1=2an+3，所以n1时，an=2an-1+3，两式相减，得：an+1-an=2(an-an-1).故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列.an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=6(2n-1-1)+3=3(2n-1-1)2*11210(),,6263.23nnnaxaxnNa例（中）设二次方程有两根满足求证：是等比数列。n+1+=1nnaaa证：依题意，由韦达定理可知：11626362113(*)23nnnnnaaanNaa又1122111213()232323232132nnnnnnaaaaaa是以为公比的等比数列1111(1)=121(*)1222(1)(*)12{1}2.1nnnnnnnnaaanNaaanNaaa证：，是公比为的等比数列111(2)1(1)222221(*)nnnnnnaaanN解：由(1)知1113=121(*)+1nnnnaaanNaa例（中）已知数列满足，(1)求证：数列是等比数列;(2)求的通项公式.例.已知，111,1nnanana求数列{an}的通项公式.解：11,nnanan11,nnanan（1）11(1),nnana又11a即110a10na由得：，11(1)1nnana故由累乘法，得：1321122111111(1)1111nnnnnaaaaaaaaaa1(1)!(1)nana1(1)(2)(3)21(1)nnna例.已知数列{an}中，a1=1,an+1+3an+1an-an=0,求数列{an}的通项公式.111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa解：111-3naa是以为首项，以为公差的等差数列111(1)(3)1(1)(3)43nnaann143nan7.逐差法形如an+1+an=f(n)的数列.（1）若an+1+an=d（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an+1-an=f(n)型，通过累加