2001年天津市数学中考试卷

2001年天津市数学中考试卷一、填空题（本大题l0个小题，每小题3分，共30分）1．计算3xy2·（—2xy）＝．2．分解因式：am＋bm＋a＋b＝．3．不等式组3283xxx的解集是．4．已知x＋y＝4，且x－y＝10，则2xy＝．5．化简：231231＝．6．抛物线y＝x2－6x＋4的顶点坐标为．7．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是cm2．8．如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF等于度．第8题图第9题图9．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长为·10．若—个梯形内接于圆，有如下四个结论：①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的对角线互相垂直；④它的对角互补．请写出正确结论的序号（请你认为正确结论的序号都填上）二、选择题（本大题l0个小题。每小题3分，共30分）11．函数xy1的自变量x的取值范围是（）．A．全体实数B．x≠0C．x＞0D．x≥012．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）．A．ab＜1B．ba＞1C．－a＞－bD．a－b＞013．甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（）．A．12.5千米B．15千米C．17.5千米D．20千米14．若点A（rn，n）在第二象限，则点B（m，－n）在（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．对于数据组2，4，4，5，3，9，4，5，1，8，其众数、中位数与平均数分别为（）．A．4，4，6B．4，6，4.5C．4，4，4.5D．5，6，4.516．在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个17．已知两圆的半径分别为t＋3和t－3（其中t3），圆心距为2t，则两圆的位置关系是（）．A．相交B．相离C．外切D．内切18．已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶a∶R等于（）．A．1：23：2B．1：3：2C．1：2：3D．1：3：2319．某商品原价为100元，现在有下列四种调价方案，其中0＜n＜m＜100，则调价后该商品价格最高的方案是（）．A．先涨价m％，再降价n％B．先涨价n％，再降价m％C．先涨价2nm％，再降价2nm％D．先涨价mn％，再降价mn％20．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC＝45°；②AE＋AF＝AB；③BCBAEFED；④2BM2＝BE·BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）图1A．2个B．3个C．4个D．5个三、解答题（本大题8个小题，共60分）21．（本题6分）解方程89169xxxx22．（本题7分）已知：关于x的—次函数y＝mx＋3n和反比例函数y＝x5n2m的图象都经过点（1，一2）．求：（1）—次函数和反比例函数的解析式；（2）两个函数图象的另一个交点的坐标．23．（本题7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝53，BC＝a，AB＝b，且a＞b．若a、b分别是二次函数y＝x2－（2k＋1）x＋k2－2的图象与x轴两个交点的横坐标，求a、b的值．24．（本题8分）已知：如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高（精确到0.01米）．（参考数据：2＝1.41421…；3＝1.73205…）25．（本题8分）如图，P是⊙O外一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝43．求∠EFD的度数．26．（本题8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2—CF2＝BF·FE．27．（本题8分）某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品—样多，每个车间每天生产的成品也—样多，有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用两天将第—、第二两个车间的所有成品（指原有的和后来生产的）检验完毕后，再去检验第三、第四两个车间的所有成品，又用去了三天时间：同时，用这五天时间，B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件。每个车间每天生产b件成品．（1）试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；（2）求B组检验员的人数．28．（本题8分）已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧．．作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．（1）如图，当AP＝3cm时，求y的值；（2）设AP＝xcm，试用含x的代表式表示y（cm）2；（3）当y＝2cm2时，试确定点P的位置．试卷答案一、填空题（本大题10个小题。每小题3分，满分30分）l．－6x2y32．（a＋b）（m＋1）3．x＜44．－42（题4可应用公式（x＋y）2＝（x—y）2＋4xy求解，这比解方程组104yxyx，求出x，y有创意。）5．236．（3，－5）7．88．68（题8中可证得∠BDE＝∠CFD＝22°（等角的余角相等），故∠EDF＝180°—90°—22°＝68°。）9．31010．①④二、选择题（本大题10个小题，每小题3分，满分30分）11．B12．D13．B14．D15．C16．B（题16中，等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，而平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。）17．C18．A19．A（题19不妨用特殊值法求解，如设m＝20，n＝10代入选择题中计算，再作比较。）20．C三、解答题（本大题8个小题，其中第21题6分，第22、23题每题7分．第24～28题每题8分．满分60分）21．解法1去分母．得（x＋9）2＋16x2＝8x（x＋9），整理后，得x2－6x＋9＝0．解这个方程，得x1＝x2＝3．经检验，x＝3是原方程的根．∴原方程的根是x＝3．解法2令xxu9，则原方程可变形为816uu，整理后，得u2－8u＋16＝0，解这个方程u1＝u2＝4．∴49xx，x＋9＝4x，∴x＝3．经检验，x＝3是原方程的根．∴原方程的根是x＝3．22．解：（1）由题意，得，，)2(15223nmnm解得．，24nm故所求的一次函数的解析式为y＝4x－6，反比例函数的解析式为xy2．（2）建立方程组．，xyxy264解得．，；，42121yxyx故两个函数图象的另一个交点为（21，－4）．23．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即a2＋b2＝53．又∵a、b是二次函数y＝x2－（2k＋1）x＋k2—2的图象与x轴两个交点的横坐标．即a、b是方程x2－（2k＋1）x＋k2－2＝0的两个实数根，∴△＝[－（2k＋1）]2―4（k2―2）＝4k＋9＞0，解得k＞－49．由根与系数的关系，有a＋b＝2k＋1，ab＝k2－2．又∵a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，∴（2k+1）2－2（k2—2）＝53，即k2＋2k－24＝0．解这个方程，得k＝4，k＝－6．∵k＞－49，∴k＝－6舍去．于是a、b为方程x2－9x－14＝0的两个根，解得x1＝7，x2＝2．又∵a＞b，∴a＝7，b＝2．（题23考查直角三角形，一元二次方程，二次函数知识的综合应用，由直角三角形性质得到a2＋b2＝53是整个试题解决的纽带，因为由此可变形得到a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝53，这就与韦达定理联系上了。）24．解：由题意，在Rt△ABD中，BD＝80（米），∠BDA=60°，AB＝BD·tg60°＝803≈138.56（米）．在Rt△AEC中，EC＝BD＝80（米），∠ACE＝45°，得AE＝CE＝80（米）．∴CD＝BE＝AB－AE＝803—80≈58.56（米）．答：塔AB的高约为138.56米，楼CD的高约为58.56米．25．解：连结DO，∵PD为切线，PEF为割线，∴PD2＝PE·PF．又PD＝43，PF＝12，∴PE＝PFPD2＝4．则EF=PF－PE＝8，EO＝4。∵PD为切线，D为切点，∴OD⊥PD，在Rt△PDO中，OD＝4，PO＝PE＋EO＝8，∴∠DPO＝30°，∠DOP＝60°．又OD＝OF，∠DOP为∠DOF的外角，∴∠EFD＝21∠DOP＝30°．（题25要求圆周角∠DFE，因它处于一个任意三角形中，故联想作辅助线连结OD，应用“同弧所对圆心角是圆周角的2倍”求解，此时∠DOP处于一个Rt△中，易于求解。）26．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∵GC为⊙O的切线，∠ECG＝∠CBE，∴∠ECG＝∠CEB，∴BE∥DG．（2）由（1），∠CBE＝∠BEC，在⊙O中，∠BAC＝∠BEC，∴∠BAC＝∠CBE．又∠BCA＝∠BCF，∴△ABC∽△BFC．∴BCACFCBC，即BC2＝AC·FC．∵AC＝AF＋FC，∴BC2＝（AF＋FC）·FC＝AF·FC＋FC2，∴CB2－CF2＝AF·FC．在⊙O中，有AF·FC＝BF·FE，∴CB2－CF2＝BF·FE．（题26（2）的待证式较复杂，难于直接证出，势必要设法代换推证，BC是△ABC与△BFC的公共边，只要证出它们相似，则有BC2＝CF·CA，这个等式与CF2又有公因式，故原式左边为CF（CA—CF）＝CF·AF，再用相交弦定理结论就得证了．这是这类题的一般思路。）27．解：（1）根据题意，由于每个车间原有a件成品，每天生产b件成品，则每个车间5天后的成品数为（a＋5b）件，故月组检验员检验的所有成品总数为5（a＋5b）＝5a＋25b（件）．（2）对于A组8名检验员，在前两天内每天检验的成品数为2)2(2ba，后检验的两个车间五天后的成品数为2（a＋5b），8名检验员在后三天内每天检验的成品数为3)5(2ba，因为检验员的检验速度相同，所以有3)5(22)2(2baba，即a＝4b．所以，一名检验员每天检验的成品数为bba4382)2(2（件）．对于B组检验员，由（1）知，5个车间5天后的成品数为5（a＋5b），则B组检验员每天检验的成品数为5)5(5ba件，即（a＋5b）件．由题意，知a≠0，b≠0，所以，B组检验员的人数为12439435bbbba．答：B组检验员检验的成品总数为（5a＋25b）件，B组有12名检验员．（题27考查代数式的应用，文字长，数量关系较为复杂，解题前先要认真读题，领会题意，理清数量关系；再逐步列出代数式，进行必要的化简，有较强的分析能力是解题的关键。）28．答：（1）∵PQ∥BC，∴ABAPBCPQ．∵BC＝4，AB＝8，AP＝3，∴PQ＝23．∵D为AB的中点，∴AD＝21AB＝4，PD＝AD－AP＝1。∵PQMN为正方形，DN＝PN一PD＝PQ－PD＝21，∴y＝MN·DN＝432123cm2．（2）∵AP＝x，∴AN＝23x．当o≤x＜38时，y＝0；当38≤x＜4时，xxxxy243)423(22；当4≤x＜316时，y＝x；当316≤x≤8时，y＝2（8－x）＝－2x＋16．（3）将y＝2代入y＝—2x＋16（316≤x≤8）时，得x＝7，即P点距A点7cm；将y＝2代入)438(2432xxxy时，得31024x，即P点距A点31024cm．