(5)自动控制原理_考研复习必备

《自动控制原理》电子教案1579206154372第1页共9页第五章控制系统的频率响应分析[教学目的]：掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握Nyquist图和Bode图的绘制方法，根据系统的Nyquist图和Bode图分析系统的性质。本章的难点是Nyquist稳定性分析。[主要内容]：一．频率特性的性质二．典型环节的Nyquist图三．Bode图方法1．典型环节的Bode图2．系统Bode图的作图方法3．最小相位系统和非最小相位系统四．Nyquist稳定性分析1．s平面和F(s)平面的映射2．Nyquist稳定性判据五．Bode图与Nyquist稳定性判据六．系统稳态性能分析七．系统相对稳定性分析八．二阶系统动态响应指标与频率特性的关系§5-1频率特性的基本概念一、正弦输入信号的稳态输出二、频率特性的定义1．频率响应，2．频率特性三、频率特性的表示法(一)解析式表示1.幅频—相频形式:G(jω)H(jω)=|G(jω)H(jω)|∠G(jω)H(jω)2.指数形式:G(jω)H(jω)=A(ω)ejφ(ω)3.三角函数形式:G(jω)H(jω)=A(ω)cosφ(ω)+jA(ω)sinφ(ω)4.实频—虚频形式:G(jω)H(jω)=X(ω)+jY(ω)(二)常用的图解形式1.极坐标图----Nyquist图G(jω)H(jω)=|G(jω)H(jω)|∠G(jω)H(jω)=A(ω)∠φ(ω)当ω=0→∞变化时,A(ω)和φ(ω)随ω而变,以A(ω)作幅值,φ(ω)作相角的端点在s平面上形成的轨迹,称Nyquist曲线2.对数坐标图----Bode图对数幅频特性L(ω)=Lm|G(jω)H(jω)|=20lgG(ω)H(ω)(db)对数相频特性φ(ω)=∠G(jω)H(jω)(rad)横坐标是ω的对数分度,纵坐标是L(ω)和φ(ω)的线性分度§5-2极坐标图一、典型环节的极坐标图重点讨论振荡环节G(s)=12122TssT=2222nnnss《自动控制原理》电子教案1579206154372第2页共9页A(ω)=2222)2()1(1TT，φ(ω)=-arctg(2212TT)二、开环控制系统的极坐标图一般系统的绘图方法1.将开环传递函数按典型环节分解liinmsGsKsTsTsssKsHsG111)()1()1()1()1()()(Gi(s)为除1/sν、k外的其他典型环节2.确定幅相曲线的起点和终点（1）低频段（ω→0+）G(j0+)H(j0+)=)(lim0jK=0900K（2）高频段(ω→∞)G(jω)H(jω)=nnnmmmajajbjbjb11110)()()()(G(jω)H(jω)≈mnmnmnbjjbnm)(900)()(003.确定幅相曲线与实轴和虚轴的交点(1)确定与实轴交点令Im[G(jω)H(jω)]=0或∠G(jω)H(jω)=(2k+1)π,k=0,±1,±2,…求得ω代入Re[G(jω)H(jω)]中即可(2)确定与虚轴交点令Re[G(jω)H(jω)]=0或∠G(jω)H(jω)=212kπ,k=0,±1,±2,…求得ω代入Im[G(jω)H(jω)]中即可(3)再取几个ω点计算A(ω)和φ(ω),即可得Nyquist图的大致形状§5-3对数频率特性一、Bode图及其特点1．Bode图的构成对数幅频L(ω)=Lm|G(jω)H(jω)|=20lgG(ω)H(ω)对数相频φ(ω)=∠G(jω)H(jω)半对数坐标纸2．Bode图的优点二、典型环节的对数坐标图1.比例环节(K)L(ω)=20lgK(db)，φ(ω)=0《自动控制原理》电子教案1579206154372第3页共9页2.积分环节(s1)L(ω)=20lg|j1|=-20lgω，φ(ω)=∠j1=-9003.微分环节(s)L(ω)=20lg|jω|=20lgω，φ(ω)=∠jω=9004.一阶滞后环节(惯性环节)(11Ts)L(ω)=20lg|11Tj|=-20lg221T=-10lg(221T)φ(ω)=-arctgωT讨论:(1)对数幅频特性1)低频段ωT1，L(ω)=-10lg(221T)≈0db2)高频段ωT1，L(ω)=-10lg(221T)≈-20lgωTdb3)交接频率处ωT=1,ω=T1，令-20lgωT=0,得ω=T1L(ω)=-10lg(221T)≈-10lg2=-3.01db渐近曲线与精确特性间有误差须修正。(2)对数相频特性φ(ω)1)精确特性；2）渐近特性，3）误差修正，4）相角曲线模板5.一阶微分环节(Ts+1)L(ω)=20lg221T=10lg(221T)，φ(ω)=arctgωT二阶振荡环节(12122TssT)L(ω)=20lg|1)(2)(122jTjT|=-20lg2222)2()1(TTφ(ω)=-arctg(2212TT)讨论:(1)对数幅频特性1)低频段ωT1，L(ω)≈-20lg1=0db2)高频段ωT1，L(ω)≈-20lg(22T)≈-40lgωTdb3)交接频率处ωT=1,ω=T1，令-40lgωT=0,得ω=T1误差修正曲线与ξ有关《自动控制原理》电子教案1579206154372第4页共9页(2)对数相频特性ω=T1时,φ(ω)=-90o6.二阶微分环节(1222TssT)L(ω)=20lg2222)2()1(TT，φ(ω)=arctg(2212TT)7.延迟环节(STDe)L(ω)=20lg1=0，φ(ω)=∠DTje=-ωTD§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法1．环节曲线迭加法2．顺序斜率迭加法步骤：（1）将传递函数分解成典型环节并按转角频率从小到大排序，计算斜率累加值。（2）过（1，20lgK）点作低频渐进线，斜率为-20ndB/dec，n为积分因子的个数。（3）根据斜率累加值，每遇转角频率即改变渐进线斜率，作出幅频特性。（4）用描点连线的方法绘制相频特性一、最小相位系统和非最小相位系统1．系统的开环传递函数在右半s平面没有极点和零点，该系统称为最小相位系统。如)1)(1()1()()(321sTsTssTKsHsG2．系统的开环传递函数在右半s平面有零点或极点，或系统含e-Ts，该系统称为非最小相位系统。3．具有相同幅值的两个系统，最小相位系统的相角最小如：sTsTHG211111，sTsTHG212211（T2T10）A1(ω)=A2(ω)=2221)(1)(1TT4.最小相位系统,当ω→∞时,相角为(n-m)(-900)5.非最小相位因(1)含e-Ts(2)小回环不稳定产生6.最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系.二、闭环系统的频率特性1.单位反馈闭环系统的频率响应)(1)()()()(00jGjGjRjCj用开环Nyquist图确定闭环频率特性：作图法《自动控制原理》电子教案1579206154372第5页共9页（1）ω=ω1时，G0（jω1）=G（jω1）H（jω1）=OA=|G（jω1）H（jω1）|ejφ（ω1）（2）1+G（jω1）H（jω1）=PA（3）PAOAjGjGjRjCj)(1)()()()(1010111逐点测量OA和PA的幅值和相角，即可得闭环频率特性。2.等M圆（等幅值轨迹）设G（jω）H（jω）=X（ω）+jY（ω），则)()(1)()(1)()()()(jeMjYXjYXjHjGjHjGjRjC令M（ω）=|jYXjYX1|，jYXjYX1)(即22222)1(YXYXM，展开成X2（1–M2）－2M2X－M2＋（1–M2）Y2＝0讨论：（1）M=1，得X=21（2）M≠1，化得：2222222)1()1(MMYMMX圆心（122MM，0），半径|12MM|的圆方程。结论：(1)M1时,M↓,M圆变小,M→0时收敛于原点(2)M1时,M↑,M圆变小,M→∞时收敛于(-1,j0)点(3)M=1时,为过(-21,j0)点平行于虚轴的直线(4)M圆是以实轴和M=1直线为对称的簇圆3.等N圆（等相角轨迹）XYarctgXYarctgjYXjYX11)(设Ntg,则]1[XYarctgXYarctgtgN由tgAtgBtgBtgABAtg1)(,得22)1(11YXXYXYXYXYXYN《自动控制原理》电子教案1579206154372第6页共9页最后化为:222)21(41)21()21(NNYX圆心(N21,21),半径2)21(41N的圆结论:(1)α0时,α↓,N圆变大,在实轴上方(2)α0时,α↓,N圆变大,在实轴上方(3)关于实轴和X=21直线对称，且都通过原点和（-1，j0）点(4)等N圆是一段弧，相差±180°的两段弧组成一完整的圆§5-5系统稳定性分析判断系统稳定性的图解法判据一、Nyquist稳定判据的基本原理利用开环Nyquist图判断闭环稳定性(一)映射原理设复变函数)())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsF1.s平面上的点与F(s)平面上的点有对应关系s平面F(s)平面F(s)的零点原点F(s)的极点无限远点s平面上的其他点原点外的有限点当动点s1在s平面的封闭曲线C上沿顺时针方向绕行取值时,在F(s)平面上将映射出一条绕原点的闭合轨迹Г.2.讨论s平面与F(s)平面的映射关系(1)围线C中只含零点时(2)围线C中只含极点时(3)围线C中既含零点,也含极点时设C中含Z个零点,P个极点,则Г围线逆时针包围原点的次数N=P-Z----映射原理(二)特征函数F(s)与G(s)H(s)的关系设开环传递函数为G(s)H(s)=)()(sAsB,则闭环传递函数为)()()()()()(1)()()()(sBsAsAsGsHsGsGsRsCs,系统特征方程为F(s)=1+G(s)H(s)=0=)()()(sAsBsA∴F(s)的零点为φ(s)的极点，F(s)的极点为G(s)H(s)的极点∵G(s)H(s)=F(s)-1∴曲线绕F(s)平面的原点运动相当于绕G(s)H(s)平面的(-1,j0)点运动(三)Nyquist轨线《自动控制原理》电子教案1579206154372第7页共9页由虚轴和右半s平面上半径为无穷大的半圆构成的闭合曲线.保卫整个右半s平面二、Nyquist稳定判据(一)第一种情况G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时,Nyquist稳定判据为:(1)P=0时,若ω从-∞→∞的Nyquist曲线不包围(-1,j0)点,即N=0,则Z=0,闭环系统稳定,否则不稳定(2)P≠0时,若ω从-∞→∞的Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点N次,则Z=N+P=0系统稳定,否则不稳定(3)Nyquist曲线通过(-1,j0)点时,临界稳定(二)第二种情况当G(s)H(s)在s平面的虚轴或原点处有极点时，需修正Nyquist轨线无限小半圆上的动点s可表示为：s=εеjθ（ε→0，-90°θ90°）映射到G(s)H(s)平面上,则为G(s)H(s)=jjee)(1讨论:1型系统G(s)H(s)=∞90~902型系统G(s)H(s)=∞180~180虚轴上有开环极点时,可仿此处理Nyquist稳定判据二:当系统的开环传递函数中有位于原点及虚轴上的极点时,系统G(jω)H(jω)Nyquist曲线在ω从-∞→+∞变化时逆时针包围(-1,j0)点的次数N等于开环右极点数P,则闭环系统稳定,否则不稳定。（三）条