(拿高分选好题)(新课程)高中数学二轮复习专题第一部分《1-3-2数列的综合应用》课时演练新人教版

-1-第一部分专题三第2课时(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)A级1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴a1＋4d＝5，5a1＋－2d＝15，∴a1＝1，d＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴1anan＋1＝1nn＋＝1n－1n＋1，∴数列1anan＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…[phone]＝1－1101＝100101.答案：A2．(2012·新课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为()A．3690B．3660C．1845D．1830解析：∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＋2＝1830.答案：D3．“神七升空，举国欢庆”，据科学计算，运载“神七”的“长征二号”F火箭，在点-2-火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是()A．10秒钟B．13秒钟C．15秒钟D．20秒钟解析：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋nn－d2＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.故选C.答案：C4．已知曲线C：y＝1x(x＞0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2＞x1＞0.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么()A．x1，x32，x2成等差数列B．x1，x32，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列解析：由题意，B1，B2两点的坐标为x1，1x1，x2，1x2，所以直线B1B2的方程为：y＝－1x1x2(x－x1)＋1x1，令y＝0，得x＝x1＋x2，∴x3＝x1＋x2，因此，x1，x32，x2成等差数列．答案：A5．设等差数列{an}满足3a8＝5am，a1＞0，(Sn)max＝S20，则m的值为()A．14B．13C．12D．11解析：设公差为d，则由3a8＝5am，得a1＝26－5m2d.由(Sn)max＝S20得a20＞0，a21＜0，d＜0，代入解得645＜m＜665.又m∈N*，所以m＝13.答案：B6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝ax2＋x(a∈N*)的图象上，则()A．n与an的奇偶性相异B．n与an的奇偶性相同-3-C．a与an的奇偶性相异D．a与an的奇偶性相同解析：Sn＝an2＋n，an＝Sn－Sn－1＝an2＋n－a(n－1)2－(n－1)＝2an＋1－a(n≥2)，an与1－a的奇偶性相同，故选C.答案：C7．(2012·浙江卷)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.解析：方法一：S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0.解得q＝32(q＝－1不合题意，舍去)．方法二：设等比数列{an}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，得a1(1＋q)＝3a1q＋2.①由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．∵q＞0，∴q＝32.答案：328．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，a2＝2，anan＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，且an＋1an＋2≠1，则a1＋a2＋a3＝________，S2010＝________.解析：将a1＝1，a2＝2代入计算得a3＝3.∴a1＋a2＋a3＝1＋2＋3＝6.则a2·a3·a4＝a2＋a3＋a4，即6a4＝5＋a4.∴a4＝1，a3·a4·a5＝a3＋a4＋a5，即3a5＝3＋1＋a5，∴a5＝2.可知数列{an}是以3为周期循环出现1,2,3的数列．故S2010＝(1＋2＋3)×670＝4020.答案：640209.如图的倒三角形数阵满足：(1)第1行的n个数，分别是1,3,5，…，2n－1；(2)从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；(3)数阵共有n行．问：当n＝2012时，第32行的第17个数是________．-4-解析：每行第1个数分别是1,4,12,32，…，它的通项公式为an＝n×2n－1.则第32行第1个数为a32＝32×232－1＝236，而在第32行的各个数成等差数列，且公差为232，所以第17个数是236＋(17－1)×232＝236＋24×232＝2×236＝237.答案：237.10．(2012·长春市调研)已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，得a1＋4d＝9，2a1＋6d＝14，解得a1＝1，d＝2，所以{an}的通项an＝2n－1.(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.当q＞0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋q－q2n1－q2；当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1)．所以数列{bn}的前n项和Sn＝nn＋，q＝1n2＋q－q2n1－q2，q＞0且q≠1.11．(2012·广州市调研)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．(1)设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列，设bnbn－1＝q(n≥2)，即an＋1＋λan＝q(an＋λan－1)，得an＋1＝(q－λ)an＋qλan－1.与已知an＋1＝an＋2an－1比较，令q－λ＝1qλ＝2，解得λ＝1或λ＝－2.所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．当λ＝1时，q＝2，b1＝4，则数列{bn}是首项为4、公比为2的等比数列；-5-当λ＝－2时，q＝－1，b1＝1，则数列{bn}是首项为1、公比为－1的等比数列．(2)由(1)知an＋1－2an＝(－1)n＋1(n≥1)，所以an＋12n＋1－an2n＝－n＋12n＋1＝－12n＋1(n≥1)，当n≥2时，an2n＝a121＋a222－a121＋a323－a222＋…＋an2n－an－12n－1＝12＋－122＋－123＋…＋－12n＝12＋－1221－－12n－11－－12＝12＋161－－12n－1.因为a121＝12也适合上式．所以an2n＝12＋161－－12n－1(n≥1)．所以an＝13[2n＋1＋(－1)n]．B级1．(2012·豫西五校联考)设实数a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足1＜a1＜3，a3＝4.若定义bn＝2an，给出下列命题：(1)b1，b2，b3，b4是一个等比数列；(2)b1＜b2；(3)b2＞4；(4)b4＞32；(5)b2·b4＝256.其中真命题的个数为()A．2B．3C．4D．5解析：若{an}是公差为d的等差数列，则{2an}是公比为2d的等比数列，故(1)正确；a3＞a1⇒公差d＞0⇒公比2d＞1，(2)正确；a1＋a3＝2a2，由1＜a1＜3，a3＝4，得a1＋a3＞5⇒a2＞2⇒b2＝2a2＞4，(3)正确；1＜a1＜3，a3＝4，又a3＝a1＋2d⇒d＝4－a12∈12，32⇒a4∈92，112，故b4＝2a4不一定大于32，(4)不正确；因为b2·b4＝b23＝(2a3)2＝256，所以(5)正确．答案：C2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝Snn2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．解析：由a4－a2＝8，得2d＝8，∴d＝4.-6-又a3＋a5＝26，得a4＝13，∴a1＝1.于是Sn＝n＋nn－2·4＝(2n－1)n，Tn＝Snn2＝2－1n2.要使M≥Tn恒成立，只需M≥2，∴M的最小值是2.答案：23．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝a2n＋Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求a的值；(3)在满足条件(2)的情形下，设cn＝1an＋1－1an＋1－1，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞2n－12.解析：(1)当n＝1时，S1＝a(S1－a1＋1)，得a1＝a.当n≥2时，Sn＝a(Sn－an＋1)，Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，两式相减得an＝a·an－1，得anan－1＝a.即{an}是等比数列．所以an＝a·an－1＝an.(2)由(1)知bn＝(an)2＋aan－a－1an，bn＝a－a2n－a·ana－1，若{bn}为等比数列，则有b22＝b1b3，而b1＝2a2，b2＝a3(2a＋1)，b3＝a4(2a2＋a＋1)，故[a3(2a＋1)]2＝2a2·a4(2a2＋a＋1)，解得a＝12，再将a＝12代入bn，得bn＝12n，结论成立，所以a＝12.(3)证明：由(2)知an＝12n，所以cn＝112n＋1－112n＋1－1＝2n2n＋1＋2n＋12n＋1－1＝2－12n＋1＋12n＋1－1.所以cn＞2－12n＋12n＋1.Tn＝c1＋c2＋…＋cn＞2－12＋122＋2－122＋123＋…＋2－12n＋12n＋1-7-＝2n－12＋12n＋1＞2n－12.结论成立．