08-09数值分析B试卷答案共享

上海海事大学2008---2009学年第2学期研究生数值分析课程考试试卷B（答案）学生姓名：学号：专业：一．填空题（每小格4分）1．设,424)(57xxxf则差商]4,...,4,4[710f4]4,...4,4[810f02．高斯型数值求积公式)()()(0ibaniixfAdxxfx代数精确度为2n+1次。３．二分法求方程f(x)=20153xx在区间[1，3]内的根，进行一步后根所在区间为［１.５，３］进行二步后根所在区间为［１.５，２.２５］4．)(H12Nx是f(x)在[a,b]上的n+1个互异节点上的Hermite插值多项式,)(12nxR为余项.则)(12NxR=22120)22()()()()!22()(nnxxxxxxnf5.设()(0,1,2)jlxjn是区间[,]ab上的一组n次插值基函数。则)0(0niil1；iniixl)0(00。6.设f(0)=0,f(1)=16,f(2)=46,则f[0,1]=１６f[0,1,2]=７７.求解线性方程组Ax=b迭代法fBxxkk)()1(，则迭代收敛的充要条件是1)A(。二．设124)(23xxxxf，试在[-1，1]上寻找一个次数不超过2的多项式)(*2xp，使他为)(xf在[-1，1]上的最佳一致逼近多项式。（已知xxxT34)(33）（８分）解答：)34(41)(21)]()([41332*2xxxTxpxf所以1422)(*2xxpx三．分别写出用Jacobi,及Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组36332012361114238zyx的迭代格式，对任意的初值，Jacob迭代法是否收敛？（10分）解：解：（1）Jacobi迭代格式：)3636(121)334(111)2023(81)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxxGauss-Seidel迭代格式：)3636(121)334(111)2023(81)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx（２）因为039772727.0034090909.0)det(2JI，有1)(J所以Jacobi迭代收敛。（或是A为对角占优，所以收敛）四．给定函数)(xf，对于一切x，)(xf存在且Mxfm)(0，证明对于M20的任意，迭代)(1kkkxfxx均收敛于0)(xf的根*x。（８分）解答：0)(xf的等价形式)(xfxx，所以)()(xfxx)(1)(xfx，对于Mxfm)(0，M20有：2)(0Mxfm所以0)(2xf1)(11xf得到1)(1xf所以迭代收敛。五．求积公式)()(0ibaniixfAdxxf中系数niAi,1,00时，证明此公式是稳定的．（８分）解：任意ab取,0当)(~)(iixfxf时)()(~)())(~)((000abAxfxfAxfxfAniiiiniiiinii六．证明：右矩形求积公式)(2)()()()(2fabbfabdxxfba。设],[1bacf，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。(10分）解：因为：))(()()(bxfbfxf；故：dxbxfdxbfdxxfbababa))(()()(=)(2)()()(2fabbfab又：分划[a,b]得：][,1kkxx，k=1,2,…n得复合公式：)(2)()()()()(1211111nkkkkknkkkbankxxfxxxfxxdxxfdxxfkk所以：)(2)(121knkkkfxxR=)(2fhab其中：nabh，且1kkxxh有：0lim0Rh七．对于初值问题syyxfyax),(，若函数),(yxf在区域bxa，y满足**),(),(yyLyxfyxf条件，试说明改进的Euler法)),(),((2),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy在00hh条件下是收敛的。并用该方法求解初值问题yy10，sy)0(讨论绝对稳定性对步长的限制。（１０分）解：因为：))],(,(),([21),,(yxhfyhxfyxfhyx所以：zyLhLhzxhyx)21(),,(),,(0，其中0hho由收敛定理得：方法是收敛的。另：)]10(1010[21nnnnnhyyyhyynyhh)50101(2由1501012hh，得510h。八求系数ba,，使求解常微分方程初值问题syyxfyax),(的数值解公式)(11nnnnybyahyy的局部误差为)()(311hOyxynn（８分）解：设步长h，且)(nnxyy，)(11nnxyy。因)(21hOyhyynnn，故)()(321hOybhyhbayynnnn又)()(21)()()(321hOxyhxyhxyxynnnn，比较得23a，21b:九.给定],[,10baxx，10xx，)(xf在区间],[ba上有三阶连续导数，证明：)()()()()()())(()()()2)(()(120120010100201101xRxfxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxf这里：10120)6()())((61)(xxxxxxfxR（10分）解：以))(,()),(,(1100xfxxfx作为插值条件作)(1xp则：所求插值多项式为))(()](,[)())(()()(100100101xxxxAxxxxfxfxxxxAxpxp所以：)()(],[)(010100xfxxAxxfxp10100],[)(xxxxfxfA所以))((],[)()](,[)()(10101000100xxxxxxxxfxfxxxxfxfxp且;10120)6(120)())((61)())(()(xxxxxxfxxxxxKxR或者：)()()()()()()(110000xfxlxfxxfxlxp2011010)()2)(()(xxxxxxxxl)())(()(10100xxxxxxx201201)()()(xxxxxl