1.3.1.函数单调性学案

-1-1.3.1函数的单调性一、函数单调性的定义的理解1、增（减）函数的定义：一般地，设函数()fx定义域为I：①如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么就说f(x)在区间D上是增函数.如图（1）②如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么就说f(x)在区间D上是减函数.如图（2）2、单调性与单调区间如果函数()yfx在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数()yfx在这一区间上具有（严格的）的单调性，区间D叫做函数()yfx的单调区间。3、理解中的一些列问题解读：（1）增（减）函数定义中的12,xx有三个特征：①“任意性”，任意去12,xx，用定义证明函数的单调性时不能取具体两个数去比较它们的函数值的大小从而下单调性结论，必须用字母12,xx进行一般性推理；②12,xx同属于同一区间；我们记③12,xx有大小，即通常规定12xx（2）用定义判断函数的增减性实质是看12,xx的大小与12(),()fxfx的大小的规律，即()fx随x在区间D上的增大而发生的变化规律。（3）在区间D上，我们记“①12xx、②12()()fxfx、③()yfx是增函数”，那么①②③满足其中二个则必然能推出第三个。同理“12xx”、“12()()fxfx”、“()yfx是减函数”满足其中二个则必然能推出第三个。（4）函数的单调性是函数在定义域上的某个区间上的性质①这个区间可以是定义域，例如：yx在整个定义域(,)上是增函数；xx1x2Oyf(x1)f(x2)y=f(x)xx1x2Oyf(x1)f(x2)y=f(x)图（1）图（2）-2-②这个区间也可以是定义域的一个真子集，例如：2yx在定义域(,)的子区间(,0)上时减函数，在子区间(0,)上为增函数。③函数()fx在区间1D和2D上为增（减）函数，不一定能说函数在12DD上为增（减）函数，除非12DD是一个区间，例如函数1()fxx在区间(,0)和(0,)分别为减函数，但不能说此函数在(,)上为减函数，也不能说此函数在(,0)(0,)上为减函数。如图（1）()fx在R上单增，如图（2）()fx在(,2)递增，在(2,)递增，但不能说在R上单增④并不是所有的函数都具有单调性，例如21,yxxZ，它的定义域不是区间，因此不能说此函数在它的定义域上具有单调性。⑤对于单独一点，由于它的函数值是唯一的确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调问题。因此在写单调区间时，可以包括也可以不包括端点，但当函数在端点处无意义时，单调区间决不能包含此点！！！，例如：2yx的单调增区间可以写成(,0)也可以写成(,0]，但1yx的减区间(0,)就不能写成[0,)。二、函数单调性的判断、确定、或证明中的一些归纳1、利用图象确定函数的单调性单调递增函数的图象从左向右上升，单调递减函数的图象从左向右下降例：①作出函数2|1|(2)yxx的图象并求出其单调区间；②作出函数23,[1,2]()3,(2,5]xxfxxx的图象并求出其单调区间；③根据函数21()3xfxx的图象，求出其单调区间。-3-2、利用定义判断函数的单调性步骤：①设值：即设12,xx是该区间内的任意两个值，且12xx（也可以12xx），不能取具体的两个数；②作差变形：通过将差变形，手段有因式分解、配方、有理化等，使其转化为易于判断符号的式子；③定号：必须由12,xx所属区间和12xx及一些可用结论分别判断各因式的符号从而判断出差12()()fxfx的符号；④定论：根据定义得出函数在该区间上单调性的结论。以上各部中，关键在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积和几个完全平方的形式。但判号是一定要从12,xx所属区间和12xx及一些可用结论出发，逻辑推理清楚又不显啰嗦。例：（1）用单调性定义证明函数()fxx在定义域上是减函数（2）用单调性定义证明函数4()fxxx在(0,)上是增函数（3）用单调性定义证明函数3()1fxx在定义域上是增函数3、利用函数单调性的性质判断函数的单调性若函数(),()fxgx在区间D具有单调性，则再区间D上具有以下性质：（1）()fx与()fx具有相反的单调性；（2）()fx与()fxC具有相同的单调性；（3）当0a时，()fx与()afx具有相同的单调性；当0a时，()fx与()afx具有相反的单调性；（4）当()fx恒不等于0时，()fx与1()fx具有相反的单调性；（5）当(),()fxgx在区间D上都单调增（减）函数时，()()fxgx也是单调增（减）函数。4、复合函数单调性的讨论方法复合函数[()]yfgx可以分解为：外层函数()yft，内层函数()tgx，[()]yfgx的单调性有其定义域和内外两层函数的单调性共同确定。【规律】同则增，异则减，即“同增异减”。例如，()tgx在区间(,)ab上递增，()yft在((),())gagb上也递增，那么[()]yfgx在区间(,)ab上递增。-4-例：判断函数①223yxx，②1xyx的单调性