1.3正余弦定理的应用教师

高中数学组必修51.3正余弦定理的应用仁爱之心对学生敬畏之心做教育1知识梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．4．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝hl＝tanα(i为坡比，α为坡角)．典题精析探究点一与距离有关的问题例1(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解题导引这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，高中数学组必修51.3正余弦定理的应用仁爱之心对学生敬畏之心做教育2∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．探究点二测量高度问题例2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解题导引在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝s·tanθsinβsinα＋β.变式迁移2解由题意可知，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD＝40sin30°sin135°＝202.高中数学组必修51.3正余弦定理的应用仁爱之心对学生敬畏之心做教育3过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DB·sin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，AB＝BE·tan30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．探究点三三角形中最值问题例3(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？例3解题导引平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．解(1)由AB＝Htanα，BD＝htanβ，AD＝Htanβ及AB＋BD＝AD，得Htanα＋htanβ＝Htanβ，解得H＝htanαtanα－tanβ＝4×1.241.24－1.20＝124(m)．因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，得tanα＝Hd.由AB＝AD－BD＝Htanβ－htanβ，得tanβ＝H－hd.所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝hd＋HH－hd≤h2HH－h，高中数学组必修51.3正余弦定理的应用仁爱之心对学生敬畏之心做教育4当且仅当d＝HH－hd，即d＝HH－h＝125×125－4＝555时，上式取等号，所以当d＝555时，tan(α－β)最大．因为0βαπ2，则0α－βπ2，所以当d＝555时，α－β最大．基础演练1．(2011·揭阳模拟)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(A)A．502mB．503mC．252mD.2522m2．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为(C)A.922B.924C.928D．923．(2011·沧州模拟)某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是3km，那么x的值为(C)A.3B．23C.3或23D．34．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时(C)A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为___302km_____．6．(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以_0.6_______米/秒的速度匀速升旗．7．(2011·宜昌模拟)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___7043_____h后，两车的距离最小．高中数学组必修51.3正余弦定理的应用仁爱之心对学生敬畏之心做教育5能力提升1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sinB＝12331.在△ABC中，AC＝BC·sinBsinA＝24，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，AB＝－11(舍)，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D处距A还有15千米．2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解由题意可知，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，CDsin∠DBC高中数学组必修51.3正余弦定理的应用仁爱之心对学生敬畏之心做教育6＝BDsin∠BCD，∴BD＝40sin30°sin135°＝202.过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DB·sin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，AB＝BE·tan30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．3(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．变式迁移3解设∠POB＝θ，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ.∴y＝S△OPC＋S△PCD＝12×1×2sinθ＋34(5－4cosθ)＝2sin(θ－π3)＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，ymax＝2＋534.所以四边形OPDC面积的最大值为2＋534.随堂小测1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(B)A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(B)高中数学组必修51.3正余弦定理的应用仁爱之心对学生敬畏之心做教育7A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是(A)A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b4．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为___4003_____m.5．(2010·全国Ⅱ)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝513，cos∠ADC＝35，求AD.解由cos∠ADC＝35＞0知B＜π2，由已知得cosB＝1213，sin∠ADC＝45，从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝45×1213－35×513＝3365.由正弦定理得，ADsinB＝BDsin∠BAD，所以AD＝BD·sinBsin∠BAD＝33×5133365＝25.6．(12分)(2009·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，高中数学组必修51.3正余弦定理的应用仁爱之心对学生敬畏之心做教育8所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分)又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ABC≌△CBD，所以BA＝BD.……………………………………………………………………………(6分)在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝AC·sin60°sin15°＝32＋620，……