根与系数关系经典题

1本资料来源于《七彩教育网一.填空题1.如果xx12、是方程xx2720的两个根，那么xx12____________。2.已知一元二次方程xx2350的两根分别为xx12、，那么xx1222的值是_________。3.若方程xxk220的两根的倒数和是83，则k____________。二.选择题1.下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（）A.xx2230B.xx2230C.22302xxD.36102xx2.如果一元二次方程xx2320的两个根为xx12、，那么xx12与xx12的值分别为（）A.3，2B.32，C.32，D.32，3.如果方程26302xx的两个实数根分别为xx12、，那么xx12的值是（）A.3B.3C.32D.324.如果xx12、是方程xx2310的两个根，那么1112xx的值等于（）A.3B.3C.13D.135.已知关于x的方程xkxk2260()有两个相等的正实数根，则k的值是（）A.2B.10C.2或10D.256.若方程xxm280两实数根的平方差为16，则m的值等于（）A.3B.5C.15D.157.如果xx12、是两个不相等的实数，且满足xx12121，xx22221，那么xx12等于（）A.2B.2C.1D.18.对于任意实数m，关于x的方程()()mxmxm2221240一定（）A.有两个正的实数根B.有两个负的实数根C.有一个正实数根、一个负实数根D.没有实数根三.解答题1.已知关于x的方程xkxk2110()的两上实数根的平方和等于4，求实数k的值。2.已知一元二次方程xxm2210（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？2（2）设xx12、是方程的两个实数根，且满足xxx12121，求m的值。3.已知关于x的方程xkxk2211410()（1）k取什么值时，方程有两个实数根？（2）如果方程的两个实数根xx12、满足||xx12，求k的值。4.已知关于x的一元二次方程axxaa200()（1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；（2）设xx12、是方程的两个实数根，若||||xx124，求a的值。一元二次方程根与系数的关系知识考点：掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。精典例题：【例1】关于x的方程10422kxx的一个根是－2，则方程的另一根是；k＝。分析：设另一根为1x，由根与系数的关系可建立关于1x和k的方程组，解之即得。答案：25，－1【例2】1x、2x是方程05322xx的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221xx（2）21xx（3）2222133xxx略解：（1）2221xx＝212212)(xxxx＝417（2）21xx＝212214)(xxxx＝213（3）原式＝)32()(2222221xxxx＝5417＝4112【例3】已知关于x的方程05)2(222mxmx有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。分析：有实数根，则△≥0，且16212221xxxx，联立解得m的值。略解：依题意有：30)5(4)2(4165)2(22221222122121mmxxxxmxxmxx由①②③解得：1m或15m，又由④可知m≥49∴15m舍去，故1m探索与创新：【问题一】已知1x、2x是关于x的一元二次方程0)1(4422mxmx的两个非零实数根，问：1x与2x能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。略解：由1632m≥0得m≤21。121mxx，22141mxx≥0∴1x与2x可能同号，分两种情况讨论：（1）若1x＞0，2x＞0，则002121xxxx，解得m＜1且m≠0∴m≤21且m≠0（2）若1x＜0，2x＜0，则002121xxxx，解得m＞1与m≤21相矛盾综上所述：当m≤21且m≠0时，方程的两根同号。【问题二】已知1x、2x是一元二次方程01442kkxkx的两个实数根。（1）是否存在实数k，使23)2)(2(2121xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。（2）求使21221xxxx的值为整数的实数k的整数值。略解：（1）由k≠0和△≥0k＜0∵121xx，kkxx4121∴2122121219)(2)2)(2(xxxxxxxx2349kk∴59k，而k＜0∴不存在。（2）21221xxxx＝4)(21221xxxx＝14k，要使14k的值为整数，而k为整数，1k只能取±1、±2、±44，又k＜0∴存在整数k的值为－2、－3、－5【课后作业】1．一元二次方程2210xx的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2.若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.3．设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根,则2111xx，.x12＋x22＝.4．关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝时，两根互为倒数；当m＝时，两根互为相反数.5．若x1=23是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝，该方程的另一个根x2=.6．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)=__________，x12＋x22＝_____，1211xx＝__________，(x1－x2)2＝_______.7．当c__________时，关于x的方程2280xxc有实数根．（填一个符合要求的数即可）8.已知关于x的方程2(2)20xaxab的判别式等于0，且12x是方程的根，则ab的值为．9.已知ab，是关于x的方程2(21)(1)0xkxkk的两个实数根，则22ab的最小值是．10．已知，是关于x的一元二次方程22(23)0xmxm的两个不相等的实数根，且满足111，则m的值是（）Ａ．3或1Ｂ．3Ｃ．1Ｄ．3或111．一元二次方程2310xx的两个根分别是12xx，，则221212xxxx的值是（）Ａ．3Ｂ．3Ｃ．13Ｄ．1312．（泸州）若关于x的一元二次方程02.2mxx没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．mlB．m－1C．mlD．m－1跟踪训练：一、填空题：51、设1x、2x是方程0242xx的两根，则①2111xx＝；②21xx＝；③)1)(1(21xx＝。2、以方程0422xx的两根的倒数为根的一元二次方程是。3、已知方程0452mxx的两实根差的平方为144，则m＝。4、已知方程032mxx的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是。6、已知1x、2x是方程0132xx的两根，则11124221xx的值为。二、选择题：1、如果方程12mxx的两个实根互为相反数，那么m的值为（）A、0B、－1C、1D、±12、已知ab≠0，方程02cbxax的系数满足acb22，则方程的两根之比为（）A、0∶1B、1∶1C、1∶2D、2∶34、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：03)12(22mxmx的根，则m的值为（）A、－3B、5C、5或－3D、－5或3三、解答题：1、证明：方程0199719972xx无整数根。2、已知关于x的方程032axx的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程023)1(2axxk有实根，且k为正整数，求代数式21kk的值。3、已知关于x的方程03)21(22axax……①有两个不相等的实数根，且关于x的方程01222axx……②没有实数根，问：a取什么整数时，方程①有整数解？4、已知关于x的方程03)1(222mxmx（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x、2x是方程的两根，且012)()(21221xxxx，求m的值。65、已知关于x的方程01)12(2kxkkx只有整数根，且关于y的一元二次方程03)1(2myyk的两个实数根为1y、2y。（1）当k为整数时，确定k的值。（2）在（1）的条件下，若m＝2，求2221yy的值。6、已知1x、2x是关于x的一元二次方程0)1(4422mxmx的两个非零实根，问：1x、2x能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由。7．设关于x的方程kx2－(2k＋1)x＋k＝0的两实数根为x1、x2，，若,4171221xxxx求k的值.8．已知关于x的一元二次方程2120xmxm．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）若方程的两实数根之积等于292mm，求6m的值．