梁保松《线性代数》习题三解答(本人亲自求解)习题三

第三章线性方程组1.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）用高斯消元法解线性方程组时，对增广矩阵的初等变换，仅限于行及交换两列的变换；解正确。（2）无论对于齐次还是非齐次的线性方程组，只要系数矩阵的秩等于未知量的个数，则方程组就有唯一解；解不正确。缺少条件()()AArr，否则非齐次的线性方程组可能无解。（3）n个方程n个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数矩阵满秩；解正确。系数矩阵满秩()()AArrn线性方程组有唯一解（4）非齐次线性方程组有唯一解时，方程的个数必等于未知量的个数；解不正确。非齐次线性方程组有唯一解时，()()AArr未知量的个数，而方程的个数未必等于未知量的个数，例如123123123123233,350,43,3136,xxxxxxxxxxxx213310013150010241130011131360000，1231,2,1.xxx（5）若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数，则该方程组有非零解；解正确。设1,,AX=oAmnnnmrmn，方程组有非零解（6）三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解；解不正确。对于齐次线性方程组正确，见（5）.对于非齐次线性方程组不正确，缺少条件()()AArr，非齐次的线性方程组可能无解。（7）两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩；第三章线性方程组解正确，设,AX=bCX=d同解（无解除外），即两个线性方程组的增广矩阵经行初等变换后得到的最简形矩阵完全相同（除零行个数可能不同外。这是因为两个方程组的方程个数可能不同，但未知量个数必相同），故最简形中系数矩阵、增广矩阵均相同的秩，即两个方程组的系数矩阵,AC及其增广矩阵都有相同的秩。（8）两个皆为三个方程四个未知量的方程组，若它们的系数矩阵有相同的秩，则两个方程组同解.解不正确。它们的系数矩阵有相同的秩，对于非齐次线性方程组来说，增广矩阵的秩未必相同。若增广矩阵的秩不相同，则至少有一个非齐次线性方程组无解。即使系数矩阵、增广矩阵的秩相同，但最简形未必相同，此时也不同解。3.讨论p取何值时，下述非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有解时求解.12321231234,,24.xxpxxpxxpxxx解13213122114112411013411240228rrrrrrpppppp3222321124013401(4)3024(4)3prrppppppp当1p时，()3,()2AArr，无解；当4p时有无穷多解，可解得1233,4,xkxkxk(k为任意常数).第三章线性方程组当1,4p时有唯一解，可解得221232242,,111pppppxxxppp；4.当,ab取何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有解的情况下求出它的全部解.123423423412340,221,(3)2,321.xxxxxxxxaxxbxxxax解413242311110111100122101221013200101321100010rrrrrrababaa，可见，当1a时（1）1b时无解，（2）1b时有无穷多解，无穷多解为：11221231421,122,,xkkxkkxkxk(12,kk为任意常数).当1a时有唯一解12342231,,,0111baabbxxxxaaa；5.设121232343454515,,,,.xxaxxaxxaxxaxxa证明该方程组有解的充分必要条件是510iia.在有解的情况下，求出它的全部解.第三章线性方程组证11225334455i111000110000110001100001100011000011000111000100000各行加到第行iaaaaaaaaaa，可见，方程组有解的充分必要条件是510iia，此时可求得解为112342234334,,,xaaaakxaaakxaak44,xak5xk.(k为任意常数).6.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）两个向量线性相关，则这两个向量可互相线性表示；解错误，两个向量线性相关两个向量成比例，但未必可互相线性表示，例如，若对于,00，有,00但无法由线性表示（2）向量组12,,,sααα（3s）两两线性无关，则该向量组线性无关；解错误，对于多于两个向量的向量组，若两两线性无关，不能保证整体无关。例如，向量组123123235347，，，两两不成比例，即两两线性无关，但312。（3）向量组123,,ααα线性相关，则3α必可由12,αα线性表示；解错误，向量组123,,ααα线性相关，只能说明存在某个向量可由其余向量线性表示，不一定是3α必可由12,αα线性表示。例如23,,οαα，2300，而非零向量第三章线性方程组23,αα可能线性无关，此时23,αα都不能用其余向量线性表示。（4）若对于任意一组不全为零的数12,,,mkkk，都有1122mmkkkαααo，则12,,,mααα线性无关；解正确，若对于任意一组不全为零的数12,,,mkkk，都有1122mmkkkαααo只有120mkkk时，1122αααommkkk，即12,,,mααα线性无关；（5）若对任意一组不全为零的数12,,,mkkk，使得11221122mmmmkkkkkkαααβββo，则12,,,mααα线性相关，12,,,mβββ线性相关；解错误，若令ii，则无论12,,,mααα是否线性相关，则都有11221122111222αααβββαβαβαβommmmmmmkkkkkkkkk（6）A为n阶方阵，0A，则A中必有某一行（列）可以由其余行（列）线性表示.解正确，（反证）若任一行都不能由其余行线性表示，则应用行初等变换可将A化为具有n个非零行的阶梯形矩阵，绝对不会出现零行（否则，零行对应的A的这一行必可由其余行线性表示），故A满秩，即0A，与条件矛盾。9.把向量β表示成向量1234,,,αααα的线性组合.（1）123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),ααα4(1,1,1,1)α，(1,2,1,1)β；（2）123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0),ααα4(0,1,1,1)α，(0,0,0,1)β.解11223344xxxx，将具体分量代入，解方程组即可。第三章线性方程组（1）123451114444βαααα；（2）123400βαααα.10.判断下列向量组的线性相关性：（1）123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6)ααα；（2）TTT123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14)βββ；（3）TTT123(1,1,3,1),(4,1,3,2),(1,0,1,2).γγγ解方法一：应用定义一，从中找出某个向量，这个向量可由其余向量线性表示；方法二：应用定义二，构造112233xxx，解方程组，判断解的情况。线性无关方程组有唯一解；方法三：对向量组构造矩阵，求矩阵的秩。若秩小于向量个数，则线性相关；若秩等于向量个数则线性无关。（1）线性相关；（2）线性相关；（3）线性无关.11.设112223334441,,,,βααβααβααβαα证明向量组1234,,,ββββ线性相关.证设存在一组常数1234,,,kkkk使112223334441Okkkk，即141122233344O.kkkkkkkk因向量组1234,,,线性无关，则有第三章线性方程组141223340,0,0,0.kkkkkkkk10011001110001010110001100110000，其系数矩阵的秩等于3，故方程组有非零解，即线性相关.13.证明向量组12(1,1,4),(1,0,3)αα与向量组12(1,1,2),(0,1,1)ββ等价.证对1212(,,)作初等行变换,有121211101011(,,)1011012143210000121212(,)(,,)rr,即方程组1122(1,2)ixxi有解，所以,12,可由向量组12,αα线性表示同理，121212(,)(,,)rr，即方程组1122(1,2)ixxi有解，所以12,αα可由向量组12,线性表示。14.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）等价的向量组所含向量的个数相同；解错误，等价的线性无关向量组所含向量的个数相同（2）向量组1Q与2Q的极大线性无关组等价，则1Q与2Q等价；解正确，1Q等价于1Q的极大线性无关组，1Q的极大线性无关组等价于2Q的极第三章线性方程组大线性无关组，2Q的极大线性无关组等价于2Q，则1Q与2Q等价。（3）若向量组的秩为r，则向量组中任意r个线性无关的向量构成向量组的极大线性无关组；解正确，若向量组的秩为r，即向量组的极大线性无关组所含向量的个数为r.若某个含r个向量的线性无关的向量组不是向量组的极大线性无关组，则向量组的极大线性无关组所含向量的个数必大于r，与向量组的秩为r矛盾。（4）对矩阵作行初等变换不改变矩阵的行秩；解正确，矩阵的秩=行秩=列秩，因初等变换不改变矩阵的秩，因此无论行变换还是列变换都不会改变行秩和列秩。（5）对矩阵作列初等变换不改变矩阵的行秩；解正确，见（4）。（6）因为矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩，所以矩阵的行向量组与列向量组等价.解错误。我们知道，同维数的行向量（或列向量）等价向量组的秩相等。事实上，n维向量组12s12,,,,,,等价于t线性方程组11(1,2,,)ssixxit，11(1,2,,)ttjxxjs，均有解对1212(,,,,,,)st作初等行变换，111(,,)(,,,,)sstrr，111(,,)(,,,,)ttsrr，即11(,,),,strr.对于本题，矩阵的行向量组与列向量组的形式不同，无法互相表示。即使转置以后，他们的维数也未必相同。15.用求矩阵秩的方法分别判断下列各组向量的线性相关性，然后求出各向量组的秩及各向量组的一个极大线性无关组，并将各向量组其余的向量用其极大线性无关第三章线性方程组组线性表示.（3）123(1,2,1,0,2),(1,2,1,3,3),(2,1,0,2,3)ααα，4(3,3,3,3,4)α.解把向量组按列排成矩阵A