立体几何综合大题20道(理)

立体几何综合大题（理科）40道及答案1、四棱锥中,⊥底面,,,.(Ⅰ)求证:⊥平面；(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。【答案】(Ⅰ)证明:因为BC=CD，即BCD为等腰三角形，又ACDACB,故ACBD.因为PA底面ABCD，所以BDPA,从而BD与平面PAC内两条相交直线ACPA,都垂直，故⊥平面。(Ⅱ)解：332sin2221sin21BCDCDBCSBCD.由PA底面ABCD知23233131PASVBCDBDCP.由,7FCPF得三棱锥BDCF的高为PA81,故：4132813318131PASVBCDBDCF47412BCDFBCDPBDFPVVV2、如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，PAD为等腰三角形，90APD，平面PAD平面ABCD，且1,2ABAD，,EF分别为PC和BD的中点．PABCDPAABCD23PA2BCCD3ACBACDBDPACPCF7PFFCPBDFBDPAC（Ⅰ）证明：EF平面PAD；（Ⅱ）证明：平面PDC平面PAD；（Ⅲ）求四棱锥PABCD的体积．【答案】（Ⅰ）证明：如图，连结AC．∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点．∴F也是AC的中点．又E是PC的中点，EFAP∵EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD；（Ⅱ）证明：∵平面PAD平面ABCD，CDAD，平面PAD平面ABCDAD，所以平面CD平面PAD，又PA平面PAD，所以PACD又PAPD，,PDCD是相交直线，所以PA面PCD又PA平面PAD，平面PDC平面PAD；（Ⅲ）取AD中点为O．连结PO,PAD为等腰直角三角形，所以POAD，因为面PAD面ABCD且面PAD面ABCDAD，所以，PO面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高．由2AD得1PO．又1AB．∴四棱锥PABCD的体积1233VPOABADO考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图，在四棱锥PABCD中，PDABCD平面，CDPA，DBADC平分，EPC为的中点，45DAC，2AC.（Ⅰ）证明：PA∥BDE平面；（Ⅱ）若,22,2BDPD求四棱锥ABCDE的体积【答案】（Ⅰ）设FBDAC，连接EF，CDPDABCDCDABCDPD，平面，平面PADPAPDPPAPDPACD平面，，，又ADCDPADADPADCD平面，平面∵,45DAC∴,DCDA∵DB平分,ADCF为AC中点，E为PC中点，∴EF为CPA的中位线.∵EF∥,PAEFBDE平面，PABDE平面∴PA∥BDE平面.(Ⅱ)底面四边形ABCD的面积记为S;ABCADCSSS222322122221．的中点，为线段点PCE111122232323EABCDVSPD．考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．PABCDABCD2PAPDAD60BADQAD(1)求证：ADPQB平面；(2)若平面平面ABCD,且M为PC的中点，求四棱锥MABCD的体积．【答案】（1）PAPD，Q为中点，ADPQ连DB，在ADB中，ADAB，，ABD为等边三角形，为的中点，ADBQ,PQBQQ,PQ平面PQB,BQ平面PQB,AD平面PQB.（2）连接QC,作MHQC于H.PQAD,PQ平面PAD,平面PAD平面ABCDAD,平面平面ABCD，PQABCD平面,QCABCD平面,PAD60BADQADPADPQQC//PQMH.MHABCD平面,又12PMPC,113322222MHPQ.在菱形ABCD中，2BD,01sin602ABDSABAD13=22=322,223ABDABCDSS菱形.MABCDV13ABCDSMH菱形1323321．5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.⑴求证：平面平面；⑵求四棱锥的体积.【答案】(1)证明：由题可知，EABCDADFCD243ABAEADABEBEPBEPBEBCDEPBEPEFPBEFCPBCDFEBCDAFE(1)(2)4545EDDFDEFDEFEDDFEFBEAEABABEAEBAEAB中中ABEBCDEABEBCDEBEEFPBEPBEPEFEFBEEFPEF平面平面平面平面平面平面平面平面(2)，则.6、已知四棱锥中，是正方形，E是的中点，(1)若PDAD，求PC与面AC所成的角(2)求证：平面(3)求证：平面PBC⊥平面PCD【答案】平面，是直线在平面ABCD上的射影，是直线PC和平面ABCD所成的角。又，四边形ABCD是正方形，，；直线PC和平面ABCD所成的角为（2）连接AC交BD与O,连接EO,∵E、O分别为PA、AC的中点∴EO∥PC∵PC平面EBD,EO平面EBD∴PC∥平面EBD（3）∵PDABCD,BC平面ABCD，∴PDBC，∵ABCD为正方形∴BCCD，∵PD∩CD=D,PD，CD平面PCD∴BCPCD又∵BC平面PBC∴平面PBCPCD7、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．116444221422BEFCABCDABEDEFSSSS112821422333BEFCVShPABCD,PDABCDABCD平面PA//PCEBD(1)PDABCDDCPCPCDPDDA,DADCPDDC045PCD0454cmABCDEF、BCCD、MN、ABCF、AEAFEF、、BCD、、BEDCBAP（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）证明平面；（3）求四棱锥的体积．【答案】（1）平行平面证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）所以平行因为，所以平行平面.（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.因为在折叠前，由于折叠后，点，所以因为，所以平面.（3）.8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且2ADPDMA＝＝.MNAEFABBEFEAFNMMNAEFMN、ABCF、BC、MNAFMNAEFAFAEFMNAF面面平行MNAEFABBEADDFADAB与重合DF与重合ABBF=ABBEABBFBEBEFBFBEFBEBFB面面ABBEFEAFNMEABFEMBNVVVABEFMBENVV1133BEFBENSABSMB111122421232322(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥PMAB－与四棱锥PABCD－的体积之比．【答案】(1)证明：∵MA平面ABCD，PD∥MA，∴PD平面ABCD，又BC平面ABCD，∴PDBC，∵ABCD为正方形，∴BCDC.∵PDDCD＝，∴BC平面PDC.在PBC中，因为GF、分别为PB、PC的中点，∴GF∥BC，∴GF平面PDC.又GF平面EFG，∴平面EFG平面PDC.(2)不妨设=1MA，∵ABCD为正方形，∴2PDAD＝＝，又∵PD平面ABCD，所以PABCDV－＝13ABCDSPD正方形＝83.由于DA平面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥PMABV－＝13×1122×2＝23.所以14PMABPABCDVV－－:＝:.9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，.21,1,90ADBCABSAABCDSAABC，面(1)求四棱锥S-ABCD的体积;(2)求证：;SBCSAB面面(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值。【答案】（1）解：111111()(1)11332624vShADBCABSA（2）证明：BCSAABCDBCABCDSA,面，面又,AABSABCAB，SABBC面SABBC面SBCSAB面面（3）解：连结AC,则SCA就是SC与底面ABCD所成的角。在三角形SCA中，SA=1,AC=21122,2221tanACSASCA10.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。（I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。【答案】分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。（Ⅰ）设，则又故，即SABCDABCDSDABCD2AD2DCSDMSC∠ABM=60MSCSAMB)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(SCBAMCSM)12,12,2(),12,12,0(MBMoABMBAB60,),0,2,0(oABMBABMB60cos||||SABCDMzxy，解得，所以是侧棱的中点。（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即，∴二面角的大小。11、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小【答案】（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.22)12()12(2141MSC)1,1,2(),1,1,0(MAM)2,0,2(AS)0,2,0(AB),,(),,,(22221111zyxnzyxnSAMMAB0011ASnMAn0012ABnMAn0220211111zxzyx02022222yzyx221xx2,0,1,12211zyyz)2,0,2(),1,1,2(21nn3662202,cos21nnSAMB36arccos1B122bACBA1B1C1DE于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC，=0，求得b=1，所以AB=AC。（Ⅱ）设平面BCD的法向量则又=（-1，1，0），=（-1，0，c）,故令x=1,则y=1,z=,=(1,1,)。又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60°知，=60°，故°，求得于是，，°所以与平面所成的角为30°12、如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．DE122bBC1BCCDEBC(,,),ANxyz0,0.ANBCANBDBCBD00xyxcz1cAN1cABDACCBDAACAN，60cosACANACAN21c），，（211AN），，211(1CB21cos111CBANCBANCBAN，601CBAN，CB1BCDDCABC//EBDC22ACBCEBDC120ACB,P