行列式的性质及应用论文范文

华北水利水电学院行列式的性质及应用课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2012年11月05日摘要：行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。关键词：递推法行列式三角化法公式法数学归纳法英文题目:DeterminantalpropertiesandapplicationAbstract:Determinantisanbasicandimportantsubjectinadvancedalgebra,itisveryusefulinmathematic.Itisveryimportanttoknowhowtocalculatedeterminant.Thepaperfirstintroducedthebasicnatureofdeterminant,thenintroducedsomemethods,Finally,withtheotherdeterminantofknowledgeonthelinksinseveralotherways.,throughthisseriesofmethodswillfutherenhanceourunderstandingofthedeterminat,onourlearningwillbringveryusefulhelp.Keywords:RecurrencemethodDeterminanttriangularizationmethodformulamethodmathematicalinduction正文：1引言:问题的提出在实践中存在许多解n元一次方程组的问题，如①11112212112222axaxbaxaxb②11112211121222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb运用行列式可以解决如②的n元一次方程组的问题。22.1排列定义1由1.2……n组成的一个有序数组称为一个n级排列。n级排列的总数为(1)(2)21!nnnn（n的阶乘个）。定义2在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。2.2行列式定义（设为n阶）：n阶行列式1212121112121222()1212(1)nnnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaAaaaaaa是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由n项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()njjj表示排列12njjj的逆序数。2.3n阶行列式具有的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.（TDD）事实上，若记111212122212nnTnnnnbbbbbbDbbb则(,1,2,,)ijjibaijn1212()12(1)nnpppTppnpDbbb1212()12(1).nnppppppnaaaD说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.性质2互换行列式的两行(ijrr)或两列(ijcc)，行列式变号.例如123123086351.351086推论若行列式D有两行（列）完全相同，则0D.证明:互换相同的两行,则有DD,所以0D.性质3行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于数k乘以此行列式，即111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakakaaaaaaaaa推论：(1)D中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2)D中某一行(列)所有元素为零，则0D；性质4:行列式中如果有两行(列)元素对应成比例,则此行列式等于零．性质5:若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即11121112212niiiiininnnnnaaaabababaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaabbbaaa.证:由行列式定义1212()12(1)()niinpppppipipnpDaaaba12121212()()1212(1)(1).nnininppppppppipnpppipnpaaaaaaba性质6行列式D的某一行（列）的各元素都乘以同一数k加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()ijrkrDD，即111211212ijnrkriiinnnnnaaaaaaaaa11121112212nijijinjnnnnnaaaakaakaakaaaa计算行列式常用方法:利用性质2,3,6,特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式,从而,较容易的计算行列式的值．2.4行列式的计算2.4.1数字型行列式的计算1.三角化法例1abbbbabbbbabbbbaDn阶行列式　计算.解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得abbbabbbabbbbnaabbbnababbnabbabnabbbbnaD1111])1([)1()1()1()1(　　　])(])1([0000000001)1(1nbabnababababbbbna　　　　　　.例2计算行列式2101044614753124025973313211D.解：这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．2313214315412311231112310010202041020410010202153021530022200222D43523421-12-31112310204-10304100-10-200102001-12000100022-2000262.524112310204112(1)(1)(6)12001020001000006．2．递推法例3计算行列式5111111111aaaaDaaaaa之值。解把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式5145411(1)111111aaaDDaaaaaaa继续使用这个递推公式，有443DDa332DDa而初始值221Daa，所以234551Daaaaa例4计算ayyyxayyxxayxxxaDn.解：xaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaDnn1010010001)(0001　　　　　　11)()(nnxayDya.同理11)()(nnnyaxDxaD,联立解得　)(,)((yxyxxayyaxDnnn）,时当yx,121122112()()()2()()(2)()()(1)nnnnnnnnDaxDxaxaxDxaxaxDnxaxaxanx3．数学归纳法当nD与1nD是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。例5计算行列式xaaaaaxxxDnnn1232100000100001.解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解当2n时，21221222)(1axaxaaxxaxaxD　　　假设kn时，有kkkkkkaxaxaxaxD12211则当1kn时，把1kD按第一列展开，得11221111)(kkkkkkkkkaaxaxaxaxxaxDD12111kkkkkxaxaxaxa由此，对任意的正整数n，有nnnnnnaxaxaxaxD122114．公式法例6计算行列式abcdbadcAcdabdcba之值。解由于2222()TAAabcdE,故用行列式乘法公式，得222224()TTAAAAAabcd因A中，4a系数是+1，所以22222()Aabcd。2.4.2行列式的概念与性质的例题例7已知2331645615ijaaaaaa是6阶行列式中的一项，试确定,ij的值及此项所带的符号。解根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标2,3,,6,5,1i应取自1至6的排列，故4i，同理可知2j。直接计算行的逆序数与列的逆序数，有(2,3,4,6,5,1)(3,1,2,4,6,5)639。亦知此项应带负号。2.4.3抽象行列式的计算例8若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1111,,,,2345则行列式1BE（）。解由A～B，知B的特征值是1111,,,2345。那么1B的特征值是2，3，4，5.于是1BE的特征值是1，2，3，4。有公式得，124BE。2.4.4含参数行列式的计算例9已知3111510113xDxx，求x。解将第3行的-1倍加至第1行，有2202101100151(2)151(2)15211311311452(2)(2)(918)14xxDxxxxxxxxxxxxxx所以2,3,6xxx。2.4.5关于0A的证明解题思路：①设证法AA；②反证法：如0A从A可逆找矛盾；③构造齐次方程组0Ax，设法证明它有非零解；④设法证矩阵的秩()rAn；⑤证明0是矩阵A的一个特征值。2.4.6特殊行列式的解法1范德蒙行列式定义：行列式123222212312311231111nnnnnnnaaaadaaaaaaaa称为n级的范德蒙行列式。例10计算行列式112233222112233111(1)(1)(1)(1)(1)(1)Axxxxxxxxxxxx之值。解把1改写成(1)iixx，第一行成为两数之和，A可拆成两个行列式之和，即123123112233112233222222112233112233(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxAxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx分别记这两个行列式为B和C，则由范德蒙行列式得，1231232221122333123123113222123111111111()iijijiBxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3113(1)()iijijiCxxx故331311()(1)ijiijiiiAxxxx2.4.7拉普拉斯定理设在行列式D中任意取定了(1