2017年高考理科数学试题及答案-全国卷3

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合22{(,)1}Axyxy，{(,)}Bxyyx，则AB中元素的个数为A．3B．2C．1D．02．设复数z满足(1)2izi，则||zA．12B．22C．2D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．5()(2)xyxy的展开式中33xy的系数为（）A．-80B．-40C．40D．805．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为52yx，且与椭圆221123xy有公共焦点．则C的方程为（）A．221810xyB．22145xyC．22154xyD．22143xy6．设函数()cos()3fxx，则下列结论错误的是（）A．()fx的一个周期为2B．()yfx的图像关于直线83x对称C．()fx的一个零点为6xD．()fx在(,)2单调递减7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．B．34C．2D．49．等差数列{}na的首项为1，公差不为0．若236,,aaa成等比数列，则{}na前6项的和为A．-24B．-3C．3D．810．已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右顶点分别为12,AA，且以线段12AA为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（）A．63B．33C．2３D．1311．已知函数211()2()xxfxxxaee有唯一零点，则a（）A．12B．13C．12D．112．在矩形ABCD中，1,2ABAD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABAD，则的最大值为A．3B．22C．5D．2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若,xy满足约束条件0,20,0xyxyy则34zxy的最小值为________．14．设等比数列{}na满足12131,3aaaa，则4a________．15．设函数1,0,()2,0xxxfxx　则满足1()()12fxfx的x的取值范围是________．16．,ab为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与,ab都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；③直线AB与a所成角的最小值为45；④直线AB与a所成角的最大值为60．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sin3cos0,27,2AAab（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD△的面积．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温1015，1520，2025，2530，3035，3540，天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形．ABDCBD??，ABBD=．（1）证明：平面ACD^平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分．求二面角DAEC--的余弦DABCE值．20．（12分）已知抛物线2:2Cyx=，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，2-），求直线l与圆M的方程．21．（12分）已知函数()1lnfxxax．（1）若()0fx≥，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，2111(1)(1)(1)222nm++鬃?，求m的最小值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线1l的参数方程为2,xtykt（t为参数），直线2l的参数方程为2,xmmyk（m为参数），设1l与2l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l：(cossin)20，M为3l与C的交点，求M的极径．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||fxxx．（1）求不等式()fx的解集；（2）若不等式()fxxxm的解集非空，求m的取值范围．2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3）理科数学参考答案一、选择题1．B2．C3．A4．C5．B6．D7．D8．B9．A10．A11．C12．A二、填空题13．114．815．1(,)416．②③三、解答题17．解：（1）由已知可得tan3A，所以23A在ABC中，由余弦定理得222844cos3cc，即22240cc解得6c（舍去），4c（2）由题设可得2CAD，所以6BADBACCAD故ABD面积与ACD面积的比值为1sin26112ABADACAD又ABC的面积为142sin232BAC，所以ABD的面积为318．解：（1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知2162000.290PX，363000.490PX，25745000.490PX.因此X的分布列为：X200300500P0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500当300500n时，若最高气温不低于25，则642Ynnn；若最高气温位于区间[20,25），则63002(300)412002Ynnn；若最高气温低于20，则62002(200)48002Ynnn因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EYnnnn当200300n时，若最高气温不低于20，则642Ynnn；若最高气温低于20，则62002(200)48002Ynnn因此2(0.40.4)(8002)0.21601.2EYnnn所以300n时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。19．解：（1）由题设可得，ABDCBD，从而ADDC又ACD是直角三角形，所以90ADC取AC的中点O，连结,DOBO，则,DOACDOAO又由于ABC是正三角形，故BOAC所以DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中，222BOAOAB又ABBD，所以222222BODOBOAOABBD，故90DOB所以平面ACD平面ABC（2）由题设及（1）知，,,OAOBOD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，||OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0),(0,0,1)ABCD由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，即E为DB的中点，得31(0,,)22E，故31(1,0,1),(2,0,0),(1,,)22ADACAEODABCEDABCEyxOz设(,,)nxyz是平面DAE的法向量，则0,0mACmAE同理可取(0,1,3)m则7cos,||||7nmnmnm所以二面角DAEC的余弦值为7720．解：（1）设1122(,),(,),:2AxyBxylxmy由22,2xmyyx可得2240ymy，则124yy又221212,22yyxx，故21212()44yyxx因此OA的斜率与OB的斜率之积为1212414yyxx，所以OAOB故坐标原点O在圆M上（2）由（1）可得21212122,()424yymxxmyym故圆心M的坐标为2(+2,)mm，圆M的半径222(+2)rmm由于圆M过点(4,2)P，因此0APBP，故1212(4)(4)(2)(2)0xxyy，即121212224()2()200xxxxyyyy由（1）可得12124,4yyxx所以2210mm，解得1m或12m当1m时，直线l的方程为10xy，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10，圆M的方程为22(3)(1)10xy当12m时，直线l的方程为240xy，圆心M的坐标为91(,)42，圆M的半径为854，圆M的方程为229185()()4216xy21．解：（1）()fx的定义域为(0,)①若0a，因为11()ln2022fa，所以不满足题意；②若0a，由()1axafxxx知，当(0,)xa时，()0fx；当(,)xa时，()0fx。所以()fx在(0,)a单调递减，在(,)a单调递增。故xa是()fx在(0,)的唯一最小值点。由于(1)0f，所以当且仅当1a时，()0fx故1a（2）由（1）知当(1,)x时，1ln0xx令112nx，得11(1)22nn，从而221111111ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222nnn故2111(1)(1)...(1)222ne而23111(1)(1)(1)2222，所以m的最小值为322．解：（1）消去参数t得1l的普通方程1:(2)lykx；消去参数mt得2l的普通方程21:(2)lyxk设(,)Pxy，由题设得(2),1(2).ykxyxk消去k得224(0)xyy所以C的普通方程为224(0)xyy（2）C的极坐标方程为222(cossin)4(22,)联立222(cossin)4,(cossin)20得coss