弹性力学-011第十一章 能量原理与变分法

第十一章能量原理与变分法要点：（1）弹性体形变势能的计算、变分法的基本思想——最小势能原理、里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法（2）位移变分法（3）应力变分法——最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理（4）位移变分法、应力变分法的应用§11-1弹性体的形变势能主要内容§11-2位移变分方程§11-3位移变分法§11-4位移变分法应用于平面问题§11-5应力变分方程§11-6应力变分法§11-7应力变分法应于平面问题§11-8应力变分法应于扭转问题§11-9解答的唯一性§11-10功的互等定理§11-11弹性力学的广义变分原理简介§11-0引言1.弹性力学问题的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程0,jiijX（2）几何方程)(21,,ijjiijuu（3）物理方程ijkkijijE)1(1（4）边界条件jiijXniiuu应力边界条件；位移边界条件。定解问题求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;（2）按应力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）边界条件。（b）相容方程；（c）边界条件。（a）归结为求解联立的微分方程组；求解特点：（b）难以求得解析解。从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：2.弹性力学问题的变分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为求解线性方程组。弹性力学中的变分原理——能量原理直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。（变分解法也称能量法）（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同时以位移、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。——位移法——力法——混合法——有限单元法、边界元法、离散元法等数值解法的理论基础。求解方法：里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin）法，加权残值（余量）法等。3.弹性力学问题的数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）——有限差分法；基本思想：将导数运算近似地用差分运算代替；将定解问题转变为求解线性方程组。典型软件：FLAC实质：将变量离散。（b）对变分方程进行数值求解——有限单元法、边界单元法、离散单元法等典型软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS等；——基于有限元法的分析软件；UDEC——基于离散元法的分析软件；基本思想：将求解区域离散，离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。——将问题转变为求解大型的线性方程组。§11-1弹性体的形变势能1.形变势能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：PlOPl外力所做的功：lPW21由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）U：lPWU21)(21lAllAP)(21lAxx杆件的体积xxU211令：——单位体积的变形能，称为比能。三向应力状态：一点的应力状态：xyzxyzzyx,,,,,xyzyzzyyxxyxzzx三向应力状态：一点的应力状态：,,,zyxxyzyzzyyxxyxzzx由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的形变比能：zzyyxxU2121211xyxyzxzxyzyz212121xyzxyz,,（a）整个弹性体的形变势能：dxdydzUU1zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz（b）（c）zzyyxx(21)xyxyzxzxyzyz若用张量表示：ijijU211dxdydzUijij21形变比能：整体形变势能：2.形变势能的应力分量表示在线弹性的情况下，由物理方程（8-17）：ijkkijijE)1(1代入式（a），整理得形变势能的表达式：)(2)(212221xzzyyxzyxEU))(1(2222xyzxyz（d）（e）代入式（b），有：dxdydzUU1)(2)(21222xzzyyxzyxEdxdydzxyzxyz))(1(2222（11-1）将式（e）分别对6个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxUxyxyU1（11-2）表明：弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。3.形变势能的应变分量表示用应变表示的物理方程（8-19）：xxeE211yyeE211zzeE211yzyzE12zxzxE12xyxyE12（f）ijijkkijG2或：代入式（a）：（a）zzyyxxU(211)xyxyzxzxyzyz并整理可得：)(21)(21)1(222222221xyzxyzzyxeEU（g）dxdydzUU1dxdydzeEUxyzxyzzyx)(21)(21)1(22222222（11-3）∵01/2，∴U≥0即弹性体的形变势能是非负的量。将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17）比较，可得：,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxUxyxyU1（11-4）将几何方程（8-9）代入上式，得：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。——格林公式4.形变势能的位移分量表示表明：222221)1(2zwyvxuzwyvxuEUdxdydzyuxvxwzuzvyw22221（11-5）本节内容小结：1.能量法的基本思想：（1）在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；或者，为在真实解附近寻求最接近于精确解的近似解。（2）将定解问题转变为求解线性方程组。2.弹性体的形变势能的4种形式：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz（c）若用张量表示：ijijU211dxdydzUijij21形变比能：整体形变势能：1.一般形式2.弹性体的形变势能的4种形式：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz（c）若用张量表示：ijijU211dxdydzUijij21形变比能：整体形变势能：1.一般形式2.应力分量表示形式dxdydzUU1)(2)(21222xzzyyxzyxEdxdydzxyzxyz))(1(2222(11-1))(2)(212221xzzyyxzyxEU))(1(2222xyzxyz3.应变分量表示形式dxdydzeEUxyzxyzzyx)(21)(21)1(22222222(11-3)4.位移分量表示形式222221)1(2zwyvxuzwyvxuEUdxdydzyuxvxwzuzvyw22221(11-5))(21)(21)1(222222221xyzxyzzyxeEU,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxUxyxyU1(11-2),1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxUxyxyU1（11-4）——格林公式弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。表明：表明：弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。5.应变能关于应变、应力的变化率§11-2位移变分方程1.泛函与变分的概念（1）泛函的概念函数：)(xfyx——自变量；y——因变量，或称自变量x的函数。泛函：)(yFUx——自变量；y——为一变函数；F——为函数y的函数，称为泛函。例1：P1)(xMEI)(xMM——弯矩方程梁的形变势能：ldxEIxMU02)(21ABlx——泛函例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz)(xfF例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz),,,(,),,,(zyxzyxyzyzxx因为所以，U被称为形变势能泛函。（2）变分与变分法设：)(xfy当自变量x有一增量：01xxx函数y也有一增量：01yyy)()(01xfxfxxfy)(dy与dx，分别称为自变量x与函数y的微分。研究自变量的增量与函数增量的关系——微分问题P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy设：)(xyUU函数y有一增量：yyy1泛函U也有一增量：)()(1xyUxyUUyUdxxfdy)(P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy设：)(xyUU函数y也有一增量：yyy1泛函U也有一增量：)()(1xyUxyUUyU函数的增量y、泛函的增量U等称为变分。研究自变函数的增量与泛函的增量间关系——变分问题。例如：Pcr（1）压杆稳定问题寻求压杆形变势能U达到最大值时的压力P值。maxU0U（2）球下落问题12)(xf球从位置1下落至位置2，所需时间为T，)(xfTT当?)(xfminTT——最速下降问题——泛函的变分问题（3）变分及其性质定义：)(xfz泛函)(xyUU增量：)(xxfzz)()(xyxyUUU函数连续性：0)()(lim000xfxxfx称函数z在x0点连续。当0)()(01xyxy有0)()(01xyUxyUU称泛函U在y0(x)处零阶接近。当0)()(01xyxy有0)()(01xyUxyU称泛函U在y0(x)处一阶接近。当0)()(01xyxy有0)()(01xyUxyU称泛函U在y0(x)处二阶接近。)()(xfxxfz泛函函数微分：)()(xfxxfzxxxA)(当x→0时，→0，则z可用其线性主部