2--一定是直角三角形吗

八年级数学·上新课标[北师]第1章勾股定理学习新知检测反馈情景导入这是一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子。12345678910111213甲：同时握住绳子的第1个结和第13个结乙：握住第4个结丙：握住第8个结1、1323456789101112问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?讲授新课探究：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.回答下列问题:1.这三组数都满足a2+b2=c2吗？2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？0180150120906030实验结果：①5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;②7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;③8,15,17满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形.724255131217815思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.有同学认为测量结果可能有误差,不同意这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给出一个更有说服力的理由吗?△ABC≌△A′B′C′？∠C是直角△ABC是直角三角形ABCabc已知：如图，△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′证明结论简要说明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB,在C1N上截取C1A1=b=CA,连接A1B1.在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2.∴A1B1=AB，∴△ABC≌△A1B1C1.（SSS）∴∠C=∠C1=90°，∴△ABC是直角三角形.acbACBbaC1MNB1A1证明结论勾股定理的逆定理归纳总结如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角，最长边所对角为直角.特别说明：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.例1：一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如下图(右)所示,这个零件符合要求吗?∵在△BCD中，∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.∴这个零件符合要求.解：∵在△ABD中，∴△ABD是直角三角形，∠A是直角.运用新知，深化理解例2：下列各组数是勾股数的是()A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.运用新知，深化理解例3下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，b=8，c=17;解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15;解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.运用新知，深化理解(3)a:b:c=3:4:5;解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳运用新知，深化理解变式1：已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.先确定AB、BC、AC、的大小变式2：若三角形ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3,b=4,c=5即a2+b2=c2.∴△ABC直角三角形.1、下面几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。（1）9，12，15；（2）15，36，39；（3）12，35，36；（4）12，18，22.2、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.练一练（P10)解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.由勾股定理知BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25,∴BE2+EF2=BF2,∴△BEF是直角三角形.当堂练习1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是()A.3:4:7B.5:12:13C.1:2:4D.1:3:52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形BA4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么?解：是直角三角形.因为a2+b2=c2满足勾股定理的逆定理.3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形,依次得到的面积是25,144,169,则这个三角形是______三角形.直角5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.FEDABC6.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.BDCA变式：如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.DCBAFEDABC5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.412243解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.由勾股定理知BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25,∴BE2+EF2=BF2,∴△BEF是直角三角形.6.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.解：连接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD2=AB2+AD2，∴BD=5m，又∵CD=12cm，BC=13cm∴BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD•CD－AB•AD=(5×12－3×4)=24m2．212121BDCA变式：如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm,又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA一定是直角三角形吗勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.课堂小结勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数作业布置习题1.31、2、4检测反馈1.以以下各组数为三边长的三角形中,能组成直角三角形的是()A.3,4,6B.9,12,15C.5,12,14D.10,16,25解析:A.32+42≠62,故不是直角三角形,故不正确;B.92+122=152,故是直角三角形,故正确;C.52+122≠142,故不是直角三角形,故不正确;D.102+162≠252,故不是直角三角形,故不正确.故选B.B2.△ABC的三边长分别为a,b,c,在下列条件下,不能判定△ABC是直角三角形的是()A.a2=b2-c2B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3C.∠A=∠B-∠CD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D解析:∵AB2+BC2=32+42=25=52=AC2,∴△ABC是直角三角形.AC2+CD2=52+122=132=AD2,∴△ACD是直角三角形,∴S四边形ABCD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=36.故选B.3.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为()A.72B.36C.66D.4212121212B4.如图所示,在△ABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24.求AC.解:在△ABD中,∵AB=26,AD=24,BD=CD=BC=10,∴满足AB2=AD2+BD2,∴△ABD为直角三角形,即AD⊥BC.又∵BD=DC,即D为BC的中点,∴△ABC为等腰三角形,即AC=AB=26.故AC的长为26.12