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2006-6-161随机信号分析随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程循环平稳随机过程加性噪声2006-6-1623高斯过程(1)定义:任意n维概率密度是正态分布式()()12122121112,,;,,11exp22nnnnnjjkknjkjkjknfxxxtttxaxaσσπσσσ==⎡⎤⎛⎞−⎛⎞−=⋅−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑∑BBB……概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数(相关系数)性质:广义平稳⇔狭义平稳各随机变量之间互不相关⇔统计独立2006-6-1633高斯过程(2)一维正态分布()221()exp22xafxσπσ⎡⎤−⎢⎥=−⎢⎥⎣⎦关于a对称:f(a+x)=f(a-x)在点a处取极大值:12πσ1()()2aafxdxfxdx∞−∞==∫∫()()afxfxσ∼∼左右平移宽窄■112πσ1σ2σ12σσax()fx2006-6-1643高斯过程(3)标准化正态分布:21()exp22xfxπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠()()xxaFxfzdzσ−∞−⎛⎞==Φ⎜⎟⎝⎠∫21()exp22xzxdzπ−∞⎛⎞Φ=−⎜⎟⎝⎠∫概率积分函数:概率分布函数:202()xzerfxedzπ−=∫误差函数:()()221erfxx=Φ−()1()erfcxerfx=−2006-6-1654平稳随机过程通过线性系统(1)()itξ()()()oitthtξξ=∗()xt()()()ytxtht=∗()ht输出随机过程的均值()()()0oiEtEthdξξτττ∞⎡⎤⎡⎤=−⎣⎦⎢⎥⎣⎦∫()()00iiahdaHττ∞==∫输出随机过程的自相关函数与功率谱密度()()(),oooRttEttξτξξτ⎡⎤+=+⎣⎦()()()00iRuvhuhvdudvξτ∞∞=+−∫∫()oRξτ=平稳平稳()()()()2ooiPRPHξξξωτωω⎡⎤==⎣⎦F()()0iEthdξτττ∞⎡⎤=−⎣⎦∫2006-6-1664平稳随机过程通过线性系统(2)()()iottξξ和的互相关函数与互功率谱密度■()()(),ioioRttEttξξτξξτ⎡⎤+=+⎣⎦()()iRhξττ=∗()()()()ioioiPRPHξξξξξωτωω⎡⎤==⎣⎦F()()()0,2iNtRξτδτ=例.若输入为白噪声即,则■()()()()0022ioNNRhhξξτδτττ=∗=()()02ioNRhξξττ≈=()01()()ioTioRttdtTξξτξτξ=−∫()otξ()ht()itξτ延迟()01TdtT∫2006-6-1674平稳随机过程通过线性系统(3)()sgn()Hjωω=−()()()()ˆ.tRttξξτξξ例.已知的自相关函数,求和的相关特性■1ˆ()()tttξξπ=∗()()()()2ˆPHPPξξξωωωω==■ˆ()()RRξξττ=()()()ˆ1ˆRRRξξξξτττπτ=∗=■()()()ˆˆˆRRRξξξξξτττ=−=−奇函数奇函数奇函数奇函数()()ˆˆ000RRξξξξ==■()()ˆttξξ与同一时刻互不相关高斯高斯独立独立()itξ∼正态随机过程■()otξ∼正态随机过程线性变换线性变换()()XYYXRRττ=−2006-6-1685窄带随机过程(1)ωc)(ωPxwc+ωwc−ωωc−wc+−ωwc−−ωω0•定义:若x(t)为平稳随机过程,其功率谱密度如上图所示,满足。•窄带随机过程的表示方法:wc2ωtttttttatxcscccxxωωωϕsin)(cos)()](cos[)()(−=+=)(cos)()(ttatxcϕ=)(sin)()(ttatxsϕ=:cff∆1%~窄带;1%至20%~宽带;20%~超宽带2006-6-169窄带随机过程的等效低通表示etjLctxtxjtxtzω)()(ˆ)()(=+=•的解析信号可表示为)(tx])(Re[)](Re[)(etjLctxtztxω==exxtjscLtatjttx)()()()()(ϕ=+=可以证明,有•的自相关函数与功率谱密度)(tz)]τ()τ([2)τ(ˆRRRxxzj+=)()(4)(ωωωuPPxz=⎩⎨⎧=0001)(ωωωu2006-6-1610复包络的相关函数与功率谱密度eRRcLjzxτ)τ()τ(ω−=•相关函数)()(ωωωczxPPL+=•功率谱密度2006-6-1611和的统计特性)(txc)(txs⇒=−etjLctztx由可以证明,有ω)()(ttxttxtcccxωωsin)(ˆcos)()(+=ttxttxtccsxωωsin)(cos)(ˆ)(−=τsin)τ(τcos)τ()τ()τ(ˆωωcxcxRRRRxxsc+==τsin)τ(τcos)τ()τ(ˆωωcxcxRRRxxsc−=τsin)τ(τcos)τ()τ(ˆ)τ(ωωcxcxRRRRxcxsxxsc+=−=−2006-6-1612有关和的结论)(txc)(txs若,则。若为高斯过程,则和也是高斯过程。若是宽平稳过程,则和为联合平稳随机过程,即它们是平稳过程,且它们的互相关只与有关。和在同一时刻不相关,若为高斯过程,则相互独立。功率谱密度0)]([=txE0)]([)]([==txEtxEsc)(tx)(txc)(txs)(tx)(txc)(txsσ2)0()0()0(xxRRRxxsc===)(txc)(txs0)0()0(=−=RRxxxxcssc⎪⎩⎪⎨⎧≥−++==wwxxcxcxPPPPscωωωωωωωω,0),()()()(τ2006-6-1613图示cωω∆对于严格限频信号,当时有■()()()(),0,csccccPPPPξξξξωωωωωωωωω⎧++−−≤≤==⎨⎩其它cω()Pξωω0Acωω+∆cω−0()cPξωω+ω0Aω∆2cω−cω−0()cPξωω−ω0Aω−∆2cωcω0()()csPPξξωω=ωAω−∆ω∆2006-6-1614总结(1)一个均值为0的窄带高斯过程,其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程,而且均值都为0,方差也相同,另外,在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相关的或统计独立的。2006-6-1615和的概率密度)(ta)(tϕ假定为高斯分布,则和的联合概率密度为)(tx)(txc)(txs⇒⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=σσπ22222exp21),(xxxxscscf⇒≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=0,2exp2),(222aaafaσσπϕ0,2exp)(222≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=aaafaσσπϕπϕ2021)(≤≤=f-瑞利分布-均匀分布2006-6-1616总结(2)一个均值为0,方差为的平稳窄带高斯过程,其包络的一维分布是瑞利分布,而其相位的一维分布是均匀分布,并且就一维分布而言,和是统计独立的。σ2)(ta)(tϕ)(ta)(tϕ2006-6-1617正弦波加窄带随机过程考察混合信号其中是均值为0的窄带高斯过程,在上均匀分布,且假定幅度和频率已知。可以求得)cos()()cos()(ϕθωω+=++=tZtntAtxcc)(tnθ)2,0(πAωc0,)()](21exp[)(202222≥+−=zAzzzfIAzσσσ-广义瑞利分布∫=πθθπ200)cosexp(21)(dxxI0,2exp)(222≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=zzzfzσσ若,有0=A-瑞利分布2006-6-1618图示表示方法2■()()()cos,crtztttωϕ⎡⎤=+⎣⎦()()()()()()22csscztztztzttarctgztϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩其中()2202221()exp,02zAzfzzAIzσσσ⎡⎤⎛⎞=−+≥⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠广义瑞利分布广义瑞利分布((莱斯分布莱斯分布))Aσ,f(z)~近似高斯分布A=0,f(z)~瑞利分布2006-6-1619循环平稳随机过程(1)定义:随机过程的均值和自相关函数是时间的周期函数例.可表示某些数字基带信号的随机过程()()nntagtnTξ∞=−∞=−∑{}()()()*nnaannkaaEamRaaRk+==∼其中广义平稳随机序列,;()[]0,gttT∈∼符号波形(确定函数),均值()()nnEtEagtnTξ∞=−∞⎡⎤⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑()anmgtnT∞=−∞=−∑周期为周期为TT2006-6-1620循环平稳随机过程(2)自相关函数()()**nmnmEaagtnTgtmTτ∞∞=−∞=−∞⎡⎤=−+−⎣⎦∑∑()()(),*RttEttξτξξτ⎡⎤+=+⎣⎦()()()*anmRmngtnTgtmTτ∞∞=−∞=−∞=−−+−∑∑()(),,RtkTtkTRttξξττ+++=+()tξ∴∼循环平稳()tξ的平均自相关函数和功率谱密度■()()221,,TTRttRttdtTξξττ−+=+∫()Rξτ=()()jPRedωτξξωττ∞−−∞=∫2006-6-1621加性噪声(1)加性噪声独立于有用信号噪声来源:人为噪声、自然噪声、内部噪声噪声分类:确知噪声、随机噪声随机噪声分类单频噪声(外台,窄带):并不总是存在脉冲噪声(点火、闪电,幅度大、时间短,频带宽):安静期长,对模拟话音影响不大,但对数字通信易造成误码,可使用纠错编码起伏噪声(热、散弹、宇宙):普遍存在不可避免,可认为是一种高斯噪声,并且在相当宽的频率范围内具有平坦的功率谱密度2006-6-1622加性噪声(2)白噪声:功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声,是一种理想宽带过程()02NPξω=()()02NRτδτ=τ0()02Nδτ()Rτω0()Pξω02N2006-6-1623加性噪声(3)带限白噪声00,||()20,NffPξω⎧⎪≤=⎨⎪⎩其他()000()2RfNSafτπτ=()002kRfττ==时,只有以频率2f0对带限白噪声进行抽样时,各样值才互不相关2006-6-1624加性噪声窄带平稳高斯噪声n(t)通过相干解调fcfc−f2B()nPf02N()1Hf×()cos2cftπ()2Hffcfc−f0.12B()1Hff0.12B()wnt()nt()pnt()ont()2Hff2B()cnPf0N()()()cossinccscntnttnttωω=−■()()()()()11coscos2sin222pccccscntnttntnttnttωωω⎡⎤==+−⎣⎦()()12ocntnt=()()14conPPωω=■01,24NBωπ=≤()()2201142ocntntNB==■
本文标题:北京邮电大学《通信原理》课程讲义-随机信号分析
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