毕业论文・抽奖活动中的概率问题

上饶师范学院毕业论文论文题目:抽奖活动中的概率问题学生姓名：郑翔学号：12010052系别：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学班级：12数（1）指导教师：王茶香二零一六年五月摘要随着现代生活节奏的不断加快，我们身边逐渐出现了许多形形色色的抽奖活动，里面也涉及到了各种概率问题。本文通过对不同类型的抽奖活动中所涉及到的概率问题进行详细的解析，让大家可以清楚地看到活动的本身，明白活动的实质，然后理性地进行参与和选择。关键词蒙特难题；条件概率；免费抽奖；彩票目录引言.....................................................1第一章蒙特难题.........................................11.1蒙特难题的来源.....................................11.2蒙特难题的看法及解析...............................11.3蒙特难题的影响.....................................2第二章抽奖过程中的条件概率问题.........................3第三章免费抽奖活动中的陷阱.............................43.1活动的玩法和奖品介绍...............................43.2陷阱原由及详解.....................................4第四章彩票中奖的概率问题...............................64.1大乐透的玩法介绍...................................64.2彩票的中奖概率分析.................................7结论.....................................................8参考文献.................................................91抽奖活动中的概率问题引言随着社会的发展，当今人类的生活也逐渐变得复杂起来，所遇到的问题也越来越多，而在这些问题中绝大部分其实都是数学上的问题。概率论是数学的一个分支，概率论思想也早已渗透到了我们生活中的方方面面，我们也会经常用到概率论的知识来解决生活中遇到的实际问题。而在这些问题中，抽奖类的问题尤发显得突出，所涉及到的概率知识也更广更多。现在，我们用概率论知识来分析下我们生活中常碰到的几类抽奖问题。第一章蒙特难题1.1蒙特难题的来源蒙特•霍尔是美国的一位电视游戏节目主持人，他曾在多年以前主持了一档名为Let’sMakeaDeal的节目。这个节目规则：蒙特会向选手展示三扇关着的门，在这三扇门中，其中有一扇门的后面是有一辆小轿车的，而另外两扇门的后面都是空房间。门后面到底是什么选手并不知情，但蒙特却是事先知道的。选手站在三扇关着的门前，然后进行游戏。游戏共分为三个步骤：1.让选手选定一扇自己认为门后面是有小轿车的门，选定后门先不打开，让其保持着仍然关闭着的状态。2.蒙特紧接着打开选手选剩下的两扇门中门后面是空房间的一扇门。3.然后蒙特会给选手俩个选择：一是坚持打开自己原先选定的那扇门；二是放弃自己原先的选择，更改为去打开另一扇仍然关闭着的门。选手最终选定后，蒙特便会打开那扇门。如果门后面的是小轿车，那么选手便胜利，赢得了这辆小轿车，反之则一无所有。那么我们该如何选择才会有更大的几率赢得小轿车？在蒙特打开一扇门之后，我们是应该坚持自己原先的选择呢，还是要改变已经做好的选择，反而去打开另一扇门。这便是概率问题上的一个著名难题——蒙特难题（MontyHallproblem）。1.2蒙特难题的看法及解析对于蒙特门难题的看法，普遍有两种观点：1：假设选手第一次选择的是A门的话，那么中奖的概率为31，当蒙特打开B,C门中没有奖的一扇门后，选手若改选B,C门中没有打开的一扇门，相当于选择了B,C两扇门，此时选手的中奖概率为32，所以选手应该改选；2：选手任意打开一扇门的中奖概率为31，当蒙特打开另两扇门中没有奖的一扇门后，相当于选手在剩余的两扇门中任选一扇门，中奖的概率都为21，所以改不改选都一样。其实，这个问题我们可以用概率的思想来进行分析。事实上这就是一个把古2典型概率问题变成了条件概率问题。选手在三扇门中任选一扇门是一个古典型概率问题，每个选择并且中奖的概率是等可能的，都为31，即31)()()(PPPCBA。在蒙特打开了一扇空门之后，其造成的结果对选手坚持自己的原先的选择是没有任何影响的，因为这是选手在获取蒙特打开空门这个信息之前的选择。但是如果选手改选为另一扇门的话，那么这个概率问题则变成了条件概率问题.条件概率是指在“已知事件B发生”的附加前提下，求另一个事件A所发生概率，即这个概率被称为B发生的前提条件下事件A发生的条件概率，并记作P(A|B)。在这个问题中，事件B为蒙特已经打开了一扇门后面是空房间的情况，而事件A则为选手更改了自己的原先的选择，去打开剩下一扇关着的门，结果反而门后面是一辆小轿车的情况。所以有：323192)()()(PPPBABBA解:不妨设选手A、B、C三人分别对应选择了A门、B门和C门,则有：31)()()(PPPCBA而选手A先选择了A门，但是他并不知道A门后面是小轿车还是空房间；然后选手B选择了B门，打开之后结果发现是一个空的房间；剩下的最后一个选手C选择了C门，他和选手A一样，也不清楚C门后面是一辆小轿车还是一个空房间，则有：31)(PA32)()(PPBCC通过答案我们可以看出，选手C所选择打开的门后面是小汽车的概率更大，也就是说选手在更改自己最初的决定，选择去打开另一扇关闭着的门后，结果赢得小轿车的概率会更大，所以1的观点是正确的。1.3蒙特难题的影响数学上的概率思想确实是不太好掌握，哪种选择会有更大的希望赢得小轿车也困扰了许多人。为此，他们还进行了多次模拟实验，结果发现在10000次坚持自己最初的决定，依然选择原来的门的试验中只有3298次是赢得了小轿车的，但是在10000次改选为打开剩下关闭着的门的试验中，却有6577次赢得了小轿车.所以我们可以从试验结果上看到，选手更改了自己的选择后赢得小轿车的可能性比坚持打开自己原先选定的那扇门更大。塞望（M·Savant）女士是一位美国《检阅》专栏的著名作家，为此问题所带来的困扰也曾经在《逻辑思维的威力》一书中作出过解释，说：“如果有一百扇门，其中一扇门后面有车，你选择一扇门之后（假定为一号），主持人打开九十八扇后面没有车的门（例如3,4,5,···100），问你会改选为二号吗？我想你一定会换的。”3第二章抽奖过程中的条件概率问题在抽奖的过程中，如果后面抽的人不知道前面人的抽奖结果，那么每个人的抽奖概率是相同的。如果后抽的人知道前面的人的抽奖结果，那么中奖的概率似乎会有所不同。这对抽奖的公平性是否会有影响呢？如果有4张可以兑换的彩票，其中两张是有奖的，有甲、乙、丙、丁4人依次去各抽一张彩票。甲的中奖概率是21。当乙知道甲中奖后再去抽奖，那么乙的中奖概率是31，乙好像有些吃亏；当乙知道甲没中奖后再去抽奖，那么中奖的概率又是变成了32，乙又比较占便宜。事实上这里的21和32都是以乙在知道甲有没有中奖的情况下的中奖概率，这是一个条件概率，都不能算是乙在这个抽奖活动中的中奖概率。因为在乙中奖的情况下是有两种可能的，一是在甲中奖的前提下乙中奖；二是甲在没中奖的情况下乙中奖。故乙的中奖概率要详细计算：设甲、乙、丙、丁四人中奖分别用A、B、C、D来表示，并且按顺序先后抽取彩票，则：21PA）（由于ABBAAABB)(,故PPPPPPPPABAABAABBAABBAB)()()()()()()()(=21×31+21×32=21；对于丙的中奖概率也是一样，CBAABCABCACBC其中CBA表示甲没中奖，乙和丙中奖；CBA表示乙没中奖，甲和丙中奖；CBA表示甲和乙都没中奖，丙中奖了；CBA则表示甲乙丙都中奖了，这显然是不可能的，所以P(CBA)=0有PPPPABCABCABCC)()()()(=21×21×21+21×21×21+21×21×1=21;同理21)(PD通过计算，我们可以看出甲、乙、丙、丁四人的中奖概率是一样的，所以在一般的抽奖活动中，无论我们是第几个去抽，也不管前面有无人中奖，我们的中奖概率是一定的，它是由有奖票数和彩票总数的比值决定的。概率问题的计算往往比较复杂，所以我们在解题之前一定要好好地去分析这个问题，理解这个问题的实质，对涉及到的事件要作必要的说明和假设，也便只有做到这样，才能够更加清晰地去解决我们生活中遇到的各种各样极其复杂的概率问题。4第三章免费抽奖活动中的陷阱近些年来，我们经常会在广场和商场里发现一些打着“免费抽奖”的抽奖活动，在这些活动中，商家会利用高额的奖金或是奖品为诱饵来吸引很多的市民参与。这些活动表面上看起来丰富多彩，形式也各种各样，大不不同但都显得非常的优惠，在实际上却具有很大的欺骗性。现在我们就以下面的一个抽奖活动为例，进行深入分析。3.1活动的玩法和奖品介绍这个活动抽奖具体规则是：在一个只有一个洞口的小纸箱里放入20个大小一致的小玻璃球，而这些小玻璃球是由10个透明的小玻璃球和10个是蓝色的小玻璃球混合而成的，参与者们从小纸箱里随机的抽取10个小球，获奖规则如下：（1）所抽取的十个小玻璃球颜色完全一样，即十个小玻璃球全为透明或者蓝色，为特等奖，奖品为价值4000元的笔记本电脑一台；（2）所抽取的十个小玻璃球中有九个颜色一样的，即九个透明玻璃球加一个蓝色玻璃球或一个透明玻璃球加九个蓝色玻璃球，为一等奖，奖品为价值300元的美的搅拌机一台；（3）所抽取的十个小玻璃球中有八个颜色一样的，即八个透明玻璃球加二个蓝色玻璃球或二个透明玻璃球加八个蓝色玻璃球，为二等奖，奖品为价值10元的洗手液一瓶；（4）所抽取的十个小玻璃球中有七个颜色一样的，即七个透明玻璃球加三个蓝色玻璃球或三个透明玻璃球加七个蓝色玻璃球，为三等奖，奖品为价值3元的牙膏一支；（5）所抽取的十个小玻璃球中有六个颜色一样的，即六个透明玻璃球加四个蓝色玻璃球或四个透明玻璃球加六个蓝色玻璃球，为四等奖，奖品为价值1元的心心相印手帕纸一包；（6）所抽取的十个小玻璃球中有五个透明玻璃球和五个蓝色玻璃球时，则为爱心奖，需要收取5块钱的成本费。3.2陷阱原由及详解从表面上看起来这个抽奖活动对参与者有很大的优势，因为抽奖的结果一共有六种，却是有五个奖项，并且中大奖的话可以获得丰厚的回报，即便是没中到，也都认为是自己的运气不好，损失了五块钱自己也是感觉无所谓，所以市民便纷纷参与其中。可实际上商场是稳赚不赔的，抽奖者反而没有占到任何便宜，最后都是变成了输家。接下来我们就用概率论的知识来仔细分析这个问题，事实上，这就是古典概率中一个典型的不放回抽样问题，我们根据所学的排列组合知识很容易便可得出：从放置了20个小玻璃球的纸箱中，我们随机地摸出10个小球进行排列组合，那么一共会有1847561020C种的可能，并且在这184756种结果中每一种结果的出现概率都是一样的——等可能的。此外，随机地摸出10个小玻璃球后所获得的奖品情况一共有六种，现在我们就将这六种情况看成六个基本事件来逐一分析。5特等奖的概率计算：从20个小玻璃球中取出10个颜色完全一样的情况有22001010CC种，所以5-1020001010)(10083.12CCCP特等奖一等奖的概率计算：从20个小玻璃球中取出9个颜色相同的小玻璃球情况有2002910110CC种，所以3-102091011010083.12CCCP（一等奖）二等奖的概率计算：从20个小玻璃球中取出8个颜色相同的小玻璃球情况有40502810210CC种，所以022.021020