§4.2 常系数线性微分方程的解法

§4.2常系数线性微分方程的解法一、预备知识——复值函数与复值解二、常系数齐线性微分方程的解法三、常系数非齐线性微分方程的解法一、预备知识——复值函数与复值解1.实变量复值函数,i,)],[()()(是虚数单位是实函数、若battt.],[)(i)()(上的实变量复值函数是则称batttz极限定义：;)(limi)(lim)(lim000tttztttttt连续定义：,)(,)()(lim000连续在则称若ttztztztt导数定义：),()(,)()(lim0000可微可导在则称存在若ttztttztztt,)()(00dttdztz或　且记为．i)(000dttddttddttdz且　2.实变量复指数函数的定义：te)i(,)sini(costtet　,)sini(cos)i(tteett　可推出,)(21cosiitteet.)(i21siniitteet结论：实变量复值函数导数的运算规则与实变量实值函数完全类似,复指数函数具有与实指数函数完全类似的性质.,sinicosittet称为欧拉公式..sinicosittetieeteettttt2sin2cosiiii则也称为欧拉公式.欧拉公式揭示了三角函数和复指数函数之间的关系.)1()()(dd)(dd)(dd1111tfxtatxtatxtatxnnnnnn若实变量复值函数z(t)=(t)+i(t)满足:)()()(d)(d)(d)(d)(d)(d1111tftztattztattztattznnnnnn则称x=z(t)为方程(1)的复值解.)2(0)(dd)(dd)(dd1111xtatxtatxtatxnnnnnn定理8若齐线性方程(2)中所有系数ai(t)(i=1,2,,n)都是实值函数,而x=z(t)=(t)+i(t)为其复值解,则z(t)的实部(t)、虚部(t)和共轭复值函数z(t)也为方程(2)的解.定理9)(i)()(dd)(dd)(dd1111tvtuxtatxtatxtatxnnnnnn若,)(i)(tVtUx有复值解),,2,1()(nitai这里,)()()()(都是实值函数、及和tVtUt、vtu则此解的实部U(t)和虚部V(t)分别是方程)()(dd)(dd)(dd1111tuxtatxtatxtatxnnnnnn和)()(dd)(dd)(dd1111tvxtatxtatxtatxnnnnnn的解.二、常系数齐线性方程和欧拉方程n阶常系数线性微分方程的一般形式为)3()(dddddd1111tfxatxatxatxnnnnnn其中a1,a2,,an是常数.xatxatxatxxLnnnnnndddddd][1111记n阶常系数非齐线性方程可记为:L[x]=f(t),对应n阶常系数齐线性方程可记为:L[x]=0.1、常系数齐线性微分方程的解法——特征方程法(3)0dddddd][1111　　xatxatxatxxLnnnnnn设它有指数函数形式的解x=et(其中为待定系数).则有)(][111tnnnnteaaaeL)(111nnnnaaaF记定理指数函数x=et为方程L[x]=0的解当且仅当.0)(111的根是代数方程nnnnaaaF定义0)(111nnnnaaaF方程称为方程(3)的特征方程,它的根称为特征根.一、当为实单根,二、当=+i为单复根,三、当为m重实根,四、当=+i为复m重根,相应于的解为:x=et.必有共轭复根=i相应于,有2个线性无关解:x=etcost,x=etsint.相应于有m个线性无关解:x=et,x=tet,,x=tm1et,=i亦为复m重根,相应于,有2m个线性无关解:x=etcost,x=etsint,x=tetcost,x=tetsint,,x=tm1etcost,,x=tm1etsint,可证明:相应于不同特征值的解必线性无关.(4)0dddddd][1111　　xatxatxatxxLnnnnnn0)()4(111nnnnaaaF的特征方程在复数域必有n个根(重根按重数计):1,2,,n,由上,可得方程(4)的n个解:x1(t),x2(t),,xn(t),线性无关故x1(t),x2(t),,xn(t)构成了方程(4)的一个基本解组,故方程(4)的通解为:x=c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)(其中c1,c2,,cn是任意常数.).0dd44的通解求方程xtx解特征方程为,014特征根为:,11故对应的解为:例1,12,4i,3i,1tex,2tex,sin,cos43txtx故所求通解为,sincos4321tctcececxtt(其中c1,c2,c3,c4是任意常数.)例2.0dd3dd23344的通解求方程txtx解特征方程为：,03234特征根为:,0321,234故方程通解为:,2342321tectctccx(其中c1,c2,c3,c4是任意常数.).0dddd2dd224466的通解求方程txtxtx例3解特征方程为：,02246特征根为:,021,43i,65i故通解为:,sin)(cos)()(654321ttccttcctccx(其中c1,c2,,c6是任意常数.)2、欧拉方程,0dddddd11111yaxyxaxyxaxyxnnnnnnnn其中a1,a2,,an是常数.可经变换x=et,t=lnx,化为常系数齐线性方程:,0dddddd1111ybtybtybtynnnnnn其中b1,b2,,bn是常数.解出其通解:y=c1y1(t)+c2y2(t)++cnyn(t)将t=ln|x|代入上式即得欧拉方程的通解.,tex令,lnxt则,1ddtexxtxttyxydddddd有：　,ddtyetdddddd22xyxxyxttyettdddddd)dddd(22tttetyetye.)dddd(222tytyetdddddd2233xyxxyxttytyettdd)dddd(dd222xttxyxxynnnndddddddddd11依此类推可求得　　.05dd3dd222的通解求方程yxyxxyx例解,tex令,lnxt则,1ddtexxtxttyxydddddd有：　,ddtyetdddddd22xyxxyxttyettdddddd)dddd(22tyetyeettt.)dddd(222tytyet代入原方程,得,05dd2dd22ytyty.05dd3dd222的通解求方程yxyxxyx例解,tex令,lnxt则,ddddtyexyt有：　,)dddd(dd22222tytyexyt代入原方程,得,05dd2dd22ytyty其特征方程为,0522特征根:,212,1i故其通解为.)2sin2cos(21tctceyt将t=ln|x|代入上式即得原方程通解为:.|)|ln2sin(|)|ln2cos(121xcxcxy二、常系数非齐线性微分方程的解法)3()(dddddd][1111tfxatxatxatxxLnnnnnn其中a1,a2,,an是常数.对应齐线性方程L[x]=0的通解可求得.(3)的通解=对应齐线性方程通解X+一个特解x*问题：如何求(3)的一个特解?方法：待定系数法和Laplace变换法.1、求常系数非齐线性方程特解的待定系数法)3()(dddddd][1111tfxatxatxatxxLnnnnnn在实际应用中最广泛而常见的右端函数是:,]sin)(cos)([)(tbtQtbtPetfta.,)(),(,mttQtPba最高次数是的实系数多项式是是实常数；其中注意:0111nnnnaaa代数方程仍称为(3)对应的特征方程.1)f(t)=eatPm(t)型)(dddddd1111tPexatxatxatxmatnnnnnn,)(atmketQtx可设特解形式为.)(次待定系数多项式为其中mtQmka不是特征方程的根a是特征方程的单根a是特征方程的s重根01s.232的通解求方程ttexxx解故对应齐次方程通解为,0232特征根为，2,121,221ttececX,)(2teBAttx设特解为代入原方程,得,22tABAt,1,21BA,)121(2tettx特解为故原方程通解为.)121(2221tttettececx例1对应的特征方程为.1632的通解求方程txxx解故对应齐次方程通解为,0322特征根为,3,121,321ttececX,BAtx设特解为代入原方程,得,16)32(3tBAAt,1,2BA，特解为12tx故原方程通解为.12321tececxtt例2对应特征方程为.)5(33的通解求方程texxxxt故对应齐次方程通解为,013323特征根为1321　,)(2321tetctccX,)(3teBAttx设特解为例3对应的特征方程为其余步骤略.2、f(t)=eat[Pl(t)cosbt+Pn(t)sinbt]型},,max{nlm可设方程特解为,]sin)(cos)([atmmkebttQbttRtx,)(),(次待定多项式均是其中mtQtRmm.10重根是特征方程的是特征方程的单根不是特征方程的根sibasibaibak的通解.解特征方程为,092其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得),3sin33cos5(*tttx代入方程:tAtB3sin63cos6所求通解为).3sin33cos5(ttt设方程特解为例4.2cos的通解求方程xxyy解例5特征方程为,012对应齐次方程通解为,sincos21xcxcY特征根为,2,1i.2sin)(2cos)(*xEDxxBAxy设特解为得代入原方程,,2cos2sin)433(2cos)433(xxxAEDxxDBAx比较系数,得,94,0,0,31EDBA.2sin942cos31sincos21xxxxcxcy所求通解为.2sin942cos31*xxxy.sin4的通解求方程txx提示对应齐次方程通解为,sincos21tctcX),sincos(tBtAtx可设例6,是单根iiba所求非齐次方程特解为,cos2ttx原方程通解为.cos2sincos21tttctcx).2cos(214xxyy求