导数与极值

320已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围练。习2fxax-xxafxa3[)2,325例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围ax-xx-一、复习引入1、利用导数判断函数的单调性0)(xf2、利用导数判断函数的单调性的步骤在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.)(xfy)(xfy0)(xf如果恒有，则是常数。)(xf0)('xf(1)求的定义域(2)求f’(x)(3)解不等式f’(x)0(或f’(x)0)(4)确认并指出递增区间（或递减区间）)(xfy1.3.2函数的极值与导数-2-11234567abxyO0)(af0)(bf0)(xaf0)(xbf0)(xaf0)(xbf0x定义一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有)()(0xfxf我们就说f(x0)是f(x)的一个极大值,点x0叫做函数y=f(x)的极大值点.反之,若,则称f(x0)是f(x)的一个极小值,点x0叫做函数y=f(x)的极小值点.)()(0xfxf极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.a（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值（2）极大值不一定比极小值大（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该点的导数为0奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点练习1下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.)(xfy)(xfyabxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy极大值点：x2极小值点：x4因为所以例1求函数的极值.4431)(3xxxf解:,4431)(3xxxf.4)(2xxf令解得或,0)(xf,2x.2x当,即,或;当,即.0)(xf0)(xf2x2x22x当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增3/283/4所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值：(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间。0)1(f,0)2(f练习2求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,112)()1(xxf令解得列表:,0)(xf.121xx0f(x))(xf+单调递增单调递减–)121,(),121(1212449所以,当时,f(x)有极小值121x.2449)121(f练习2求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0273)()2(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.练习2求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0312)()3(2xxf令解得.2,221xx所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22.,033)()4(2xxf令解得.1,121xx所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？3)(xxf例如0)0(,3)(2fxxf从而可知但x=0不是函数的极值点xyo3xy导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.习题A组#4下图是导函数的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数有极大值?(2)导函数有极小值?(3)函数有极大值?(4)函数有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy2xx1xx4xx或3xx5xx